Прагляд зыходнага тэксту старонкі Трансцэндэнтны лік

У [[матэматыка|матэматыцы]], '''трансцэндэнтны лік''' — лік ([[рэчаісны лік|рэчаісны]] ці [[камплексны лік|камплексны]]), які не з'яўляецца [[алгебраічны лік|алгебраічным]], г. зн. не з'яўляецца [[корань мнагачлена|коранем]] ніякага ненулявога [[мнагачлен]]а з [[рацыянальны лік|рацыянальнымі]] [[каэфіцыент]]амі. Самымі знакамітымі прыкладамі трансцэндэнтных лікаў з'яўляюцца [[Лік Пі|{{pi}}]] і ''[[Лік e|e]]''. Хаця вядома толькі некалькі класаў трансцэндэнтных лікаў (часткова таму, што даказаць трасцэндэнтнасць пэўнага ліку бывае вельмі складана), трансцэндэнтныя лікі не рэдкасць. Больш таго, [[амаль усе]] [[рэчаісны лік|рэчаісныя]] і [[камплексныя лікі]] трансцэндэнтныя, таму што алгебраічныя лікі ўтвараюць [[злічальнае мноства]], тады як мноствы і рэчаісных, і камплексных лікаў абодва [[незлічальнае мноства|незлічальныя]]. Усе рэчаісныя лікі з'яўляюцца [[ірацыянальны лік|ірацыянальнымі]], бо ўсе рацыянальныя лікі алгебраічныя. Адваротнае несправядліва: не ўсе ірацыянальныя лікі трансцэндэнтныя; напрыклад, [[квадратны корань з 2]] ірацыянальны, але не трансцэндэнтны лік, бо ён з'яўляецца рашэннем алгебраічнага ўраўнення {{math|''x''<sup>2</sup> − 2 {{=}} 0}}.

== Гісторыя ==
Слова «трансцэндэнтны» паяўляецца ў [[Готфрыд Лейбніц|Лейбніцавай]] працы 1682 года, дзе ён даказаў, што [[Sin]] ''x'' — не [[алгебраічная функцыя]] ад ''x''<ref>{{cite book|title=Leibnizens mathematische Schriften|author=Gottfried Wilhelm Leibniz, Karl Immanuel Gerhardt, Georg Heinrich Pertz|publisher=A. Asher & Co.|year=1858|volume=5|pages=97–98}}[http://books.google.com/books?id=ugA3AAAAMAAJ&pg=PA97]</ref><ref>{{cite book|title=Elements of the History of Mathematics|url=https://archive.org/details/elementsofhistor0000bour|author=Nicolás Bourbaki|publisher=Springer|year=1994|page=[https://archive.org/details/elementsofhistor0000bour/page/74 74]}}</ref>. [[Леанард Эйлер|Эйлер]] быў мабыць першым, хто вызначыў трансцэндэнтныя лікі ў сучасным сэнсе<ref>{{cite journal|doi=10.2307/2690369|title=Some Remarks and Problems in Number Theory Related to the Work of Euler|author=[[Пал Эрдзёш|Paul Erdős]], Underwood Dudley|journal=Mathematics Magazine|volume=76|issue=5|date=December 1943|pages=292–299|jstor=2690369}}</ref>.

У 1844 годзе [[Жазеф Ліувіль]] першы даказаў існаванне трансцэндэнтных лікаў<ref>{{cite journal|title=On Transcendental Numbers|author=Aubrey J. Kempner|journal=Transactions of the American Mathematical Society|volume=17|issue=4|date=October 1916|pages=476–482|doi=10.2307/1988833|publisher=American Mathematical Society|jstor=1988833}}</ref>, і ў 1851 годзе прывёў першыя дзесятковыя прыклады, такія як пастаянная Ліувіля

: <math>\sum_{k=1}^\infty 10^{-k!} = 0.1100010000000000000000010000\ldots,</math>

дзе ''n''-я лічба пасля коскі раўняецца 1, калі ''n'' роўнае ''k''! (''k'' [[фактарыял]]) для некаторага ''k'', і 0 у процілеглым выпадку<ref>[http://mathworld.wolfram.com/LiouvillesConstant.html Weisstein, Eric W. «Liouville's Constant», MathWorld]</ref>. Ліувіль паказаў, што гэты лік адносіцца да класа лікаў, якія цяпер называюцца [[лік Ліувіля|лікамі Ліувіля]]; такія лікі можна прыблізіць [[рацыянальны лік|рацыянальнымі лікамі]] больш дакладна, чым гэта можна зрабіць для любых ірацыяльных алгебраічных лікаў. Ліувіль паказаў, што ўсе Ліувілевы лікі трансцэндэнтныя<ref>{{cite journal|title=Sur des classes très étendues de quantités dont la valeur n'est ni algébrique, ni même réductible à des irrationnelles algébriques|author=J. Liouville|journal=J. Math. Pures et Appl.|volume=16|year=1851|pages=133–142|url=http://www-mathdoc.ujf-grenoble.fr/JMPA/PDF/JMPA_1851_1_16_A5_0.pdf|accessdate=4 мая 2014|archiveurl=https://web.archive.org/web/20120317225901/http://www-mathdoc.ujf-grenoble.fr/JMPA/PDF/JMPA_1851_1_16_A5_0.pdf|archivedate=17 сакавіка 2012|url-status=dead}}</ref>.

[[Іаган Генрых Ламберт]] у сваёй працы 1761 года, дзе ён даказаў [[ірацыянальны лік|ірацыянальнасць]] ліку [[лік Пі|{{pi}}]], выказаў здагадку, што ''[[лік e|e]]'' і [[лік Пі|{{pi}}]] абодва трансцэндэнтныя. Першым лікам, чыя трансцэндэнтнасць была даказана, а не вызначана пры пабудове (г. зн. лік не канструяваўся адмыслова як прыклад трансцэндэнтнасці), стаў лік ''e'', даказаў гэта [[Шарль Эрміт]] у 1873 годзе.

У 1874 годзе [[Георг Кантар]] даказаў, што алгебраічныя лікі ўтвараюць [[злічальнае мноства]], а рэчаісныя — [[незлічальнае мноства|незлічальнае]]. Ён таксама прыдумаў [[Першы Кантараў доказ незлічальнасці|новы метад]] для канструявання трасцэндэнтных лікаў<ref>{{cite journal|title=Über eine Eigenschaft des Ingebriffes aller reelen algebraischen Zahlen|author=Georg Cantor|journal=J. Reine Angew. Math.|volume=77|year=1874|pages=258–262|url=http://www.digizeitschriften.de/main/dms/img/?PPN=GDZPPN002155583}}</ref>. У 1878 годзе Кантар апублікаваў выкладкі, якія даказвалі, што трасцэндэнтных лікаў гэтак жа многа, як і рэчаісных<ref>{{cite journal|title=Ein Beitrag zur Mannigfaltigkeitslehre|author=Georg Cantor|journal=J. Reine Angew. Math.|volume=84|year=1878|pages=242–258|url=http://www.digizeitschriften.de/dms/img/?PPN=PPN243919689_0084&DMDID=dmdlog15}} (Кантарава канструкцыя дае [[Узаемнаадназначная адпаведнасць|ўзаемнаадназначную адпаведнасць]] паміж мноствам трансцэндэнтных лікаў і мноствам рэчаісных лікаў. У гэтым артыкуле Кантар толькі прымяняе сваю канструкцыю да мноства ірацыянальных лікаў. Гл. с. 254.)</ref>. Кантарава праца ўстанавіла паўсюднасць трансцэндэнтных лікаў.

У 1882 годзе [[Фердынанд фон Ліндэман]] апублікаваў доказ трансцэндэнтнасці ліку π. Спачатку ён паказаў, што ''e'' ў любой ненулявой алгебраічнай ступені з'яўляецца трасцэндэнтным лікам, і раз ''e''<sup>''i''π</sup> = −1 ёсць алгебраічны лік (гл. [[тоеснасць Эйлера]]), то лік ''i''π і, адсюль, лік π павінны быць трансцэндэнтнымі. Гэты падыход быў абагульнены [[Карл Веерштрас|Карлам Веерштрасам]] як [[тэарэма Ліндэмана — Веерштраса]]. Трансцэндэнтнасць ліку π дазволіла даказаць для некалькіх антычных геаметрычных задач на пабудову немагчымасць іх развязання з дапамогаю [[пабудова цыркулем і лінейкай|цыркуля і лінейкі]], уключаючы самую знакамітую з іх — [[квадратура круга|квадратуру круга]].

У 1900 годе [[Давід Гільберт]] паставіў важнае пытанне аб трансцэндэнтных ліках, [[сёмая праблема Гільберта|сваю сёмую праблему]]: Калі ''a'' ёсць алгебраічны лік, не роўны нулю і адзінцы, а ''b'' — ірацыянальны [[алгебраічны лік]], ці будзе лік ''a''<sup>''b''</sup> абавязкова трасцэндэнтным? Станоўчы адказ у 1934 годе дала [[тэарэма Гельфанда — Шнайдэра]]. Гэты вынік быў пашыраны [[Алан Бэйкер, матэматык|Аланам Бэйкерам]] у 1960-х у яго працы аб ніжніх ацэнках для лінейных форм ад адвольнага ліку лагарыфмаў алгебраічных лікаў<ref>J J O'Connor and E F Robertson: [http://www-history.mcs.st-andrews.ac.uk/Biographies/Baker_Alan.html Alan Baker]. The MacTutor History of Mathematics archive 1998.</ref>.

== Уласцівасці ==
Мноства трансцэндэнтных лікаў бесканечнае і, больш таго, [[незлічальнае мноства|незлічальнае]]. З таго, што мнагачлены з цэлымі каэфіцыентамі ўтвараюць [[злічальнае мноства]], і кожны мнагачлен мае канечны лік [[корань мнагачлена|нулёў]], мноства [[алгебраічны лік|алгебраічных лікаў]] таксама павінна быць злічальным. Але [[Кантараў дыяганальны доказ]] паказвае, што рэчаісных лікаў (і адсюль таксама камплексных лікаў) незлічальнае мноства; таму мноства ўсіх трансцэндэнтных лікаў таксама павінна быць незлічальным.

Сярод трансцэндэнтных лікаў няма [[рацыянальны лік|рацыянальных]], г. зн. усе рэчаісныя траснцэндэнтныя лікі ірацыянальныя. Рацыянальны лік можна запісаць як ''p''/''q'', дзе ''p'' і ''q'' — [[Цэлы лік|цэлыя лікі]]. Відавочна, ''p''/''q'' ёсць корань мнагачлена ''qx''&nbsp;−&nbsp;''p''&nbsp;=&nbsp;0. Аднак, некаторыя [[ірацыянальны лік|ірацыянальныя лікі]] не з'яўляюцца трансцэндэнтнымі. Напрыклад, [[квадратны корань з 2]] ірацыянальны, але не трансцэндэнтны (бо з'яўляецца рашэннем алгебраічнага ўраўнення ''x''² − 2 = 0). Тое ж справядліва для квадратных каранёў з іншых лікаў, якія не з'яўляюцца поўнымі квадратамі.

Любая непастаянная [[алгебраічная функцыя]] ад аднае зменнай дае трансцэндэнтнае значэнне, калі яе аргумент — трансцэндэнтны лік. Напрыклад, ведаючы, што π — трансцэндэнтны лік, адразу ж можна сказаць, што такія лікі, як 5π, (π − 3)/√{{overline|2}}, (√{{overline|π}} − √{{overline|3}})<sup>8</sup> і (π<sup>5</sup> + 7)<sup>1/7</sup>, таксама трансцэндэнтныя.

Аднак, алгебраічная функцыя некалькіх зменных можа даваць алгебраічны лік пры трансцэндэнтных аргументах у тым выпадку, калі яны [[алгебраічна незалежныя лікі|алгебраічна залежныя]]. Напрыклад, π і (1 − π) абодва трансцэндэнтныя, а вось π + (1 − π) = 1 відавочна не. Невядома, трансцэндэнтны лік π + ''e'' ці не, хаця прынамсі адзін з лікаў π + ''e'' і π''e'' павінен быць трансцэндэнтным. Больш агульна, для любых двух трансцэндэнтных лікаў ''a'' і ''b'', хоць адзін з лікаў ''a'' + ''b'' і ''ab'' будзе трансцэндэнтным. Каб убачыць гэта, разгледзім мнагачлен (''x'' − ''a'')(''x'' − ''b'') = ''x''² − (''a'' + ''b'')''x'' + ''ab''. Калі (''a'' + ''b'') і ''ab'' абодва алгебраічныя, тады гэта будзе мнагачлен з алгебраічнымі каэфіцыентамі. З таго, што алгебраічныя лікі ўтвараюць [[алгебраічна замкнутае поле]], вынікае, што карані мнагачлена, ''a'' і ''b'', таксама будуць алгебраічнымі лікамі. Але гэта супярэчнасць, і таму хаця б адзін з каэфіцыентаў трансцэндэнтны.

[[вылічальны лік|Невылічальныя лікі]] ўтвараюць [[уласнае падмноства]] трансцэндэнтных лікаў.

Усе [[лік Ліувіля|лікі Ліувіля]] трансцэндэнтныя, але не наадварот. Любы лік Ліувіля павінен мець неабмежаваныя няпоўныя дзелі ў раскладанні ў [[непарыўны дроб]]. Існуюць трансцэндэнтныя лікі, якія маюць абмежаваныя няпоўныя дзелі і таму не з'яўляюцца лікамі Ліувіля. Гэта вынікае з таго, што лікі, чые непарыўныя дробы маюць абмежаваныя няпоўныя дзелі, утвараюць незлічальнае мноства, тады як мноства алгебраічных лікаў злічальнае, і таму абавязкова знойдуцца неалгебраічныя (трасцэндэнтныя) лікі з абмежаванымі няпоўнымі дзелямі.

Карыстаючыся яўным відам раскладання ліку ''e'' ў непарыўны дроб, можна паказаць, што ''e'' — не лік Ліувіля (хоць няпоўныя дзелі ў яго непарыўным дробе неабмежаваныя). У 1953 годзе [[Курт Малер]] паказаў, што π — таксама не лік Ліувіля. Была выказана гіпотэза, што ўсе бесканечныя неперыядычныя непарыўныя дробы з абмежаванымі дзелямі прадстаўляюць трасцэндэнтныя лікі (перыядычныя непарыўныя дробы адпавядаюць квадратычным ірацыянальнасцям)<ref>{{cite journal|title=On the complexity of algebraic numbers, II. Continued fractions|author=Boris Adamczewski and Yann Bugeaud|journal=Acta Mathematica|volume=195|issue=1|date=March 2005|pages=1–20|doi=10.1007/BF02588048}}</ref>.

Роднасны клас — [[лікі ў замкнёнай форме]], якія можна вызначаць рознымі спосабамі, уключаючы рацыянальныя лікі (і ў некаторых азначэннях усе алгебраічныя лікі), але таксама дазваляюць ступеняванне і лагарыфмаванне.

== Лікі з даказанаю трансцэндэнтнасцю ==
Лікі з даказанаю трансцэндэнтнасцю:

* ''[[Лік e|e]]<sup>a</sup>'', калі ''a'' — [[алгебраічны лік]], не роўны нулю (па [[тэарэма Ліндэмана - Веерштраса|тэарэме Ліндэмана — Веерштраса]]).
* [[Пі|π]] (па [[тэарэма Ліндэмана — Веерштраса|тэарэме Ліндэмана — Веерштраса]]).
* ''e''<sup>π</sup>, [[пастаянная Гельфанда]], гэтак жа як ''e''<sup>−π/2</sup>=''i'' <sup>i</sup> (па [[тэарэма Гельфанда — Шнайдэра|тэарэме Гельфанда — Шнайдэра]]).
* ''a<sup>b</sup>'', калі ''a'' — алгебраічны лік, не роўны 0 ці 1, а ''b'' — ірацыянальны алгебраічны лік (па [[тэарэма Гельфанда — Шнайдэра|тэарэме Гельфанда — Шнайдэра]]), у прыватнасці:
:: <math>2^\sqrt{2},</math>
: [[пастаянная Гельфанда — Шнайдэра]] (ці лік Гільберта).
* Непарыўнадробавая сталая, [[Карл Людвіг Зігель]] (1929)
: <math>
{1+\cfrac{1}{2+\cfrac{1}{3+\cfrac{1}{4+\cfrac{1}{5+\cfrac{1}{6+\ddots}}}}}}
</math>
* [[sin]](''a''), cos(''a'') і tan(''a''), а таксама csc(''a''), sec(''a'') і cot(''a''), для любога ненулявога алгебраічнага ліку ''a'' (па тэарэме Ліндэмана — Веерштраса).
* [[натуральны лагарыфм|ln]](''a''), калі ''a'' — алгебраічны лік, не роўны 0 ці 1, для любой галіны лагарыфмічнай функцыі (па тэарэме Ліндэмана — Веерштраса).
* ''[[W-функцыя Ламберта|W]]''(''a''), калі ''a'' — ненулявы алгебраічны лік, для любой галіны Ламбертавай W-функцыі (па тэарэме Ліндэмана — Веерштраса).
* [[Гама-функцыя|Γ]](1/3),<ref>Le Lionnais, F. Les nombres remarquables (ISBN 2-7056-1407-9). Paris: Hermann, p. 46, 1979. via Wolfram Mathworld, [http://mathworld.wolfram.com/TranscendentalNumber.html Transcendental Number]</ref> Γ(1/4),<ref name = "Chudnovsky">{{cite book | last=Chudnovsky | first=G. V. | title=Contributions to the Theory of Transcendental Numbers | isbn=0-8218-1500-8 | location=Providence, RI | publisher=American Mathematical Society | year=1984 }} via Wolfram Mathworld, [http://mathworld.wolfram.com/TranscendentalNumber.html Transcendental Number]</ref> and Γ(1/6).<ref name = "Chudnovsky"/>
* 0.12345678910111213141516…, {{нп3|сталая Чэмперноўна||en|Champernowne constant}}<ref>{{cite journal|author=K. Mahler|title=Arithmetische Eigenschaften einer Klasse von Dezimalbrüchen|journal=Proc. Konin. Neder. Akad. Wet. Ser. A.|issue=40|year=1937|pages=421–428}}</ref><ref>Mahler (1976) p.12</ref>.
* лік Ω, {{нп3|сталая Хайціна||en|Chaitin's constant}} (бо гэта невылічымы лік)<ref>{{cite book | title=Information and Randomness: An Algorithmic Perspective | url=https://archive.org/details/informationrando00calu_934 | series=Texts in Theoretical Computer Science | first=Cristian S. last=Calude | edition=2nd rev. and ext. | publisher=Springer-Verlag | year=2002 | isbn=3-540-43466-6 | zbl=1055.68058 | page=[https://archive.org/details/informationrando00calu_934/page/n257 239] }}</ref>.
* '''Лік Фрэдгольма'''<ref>Allouche & Shallit (2003) pp.385,403</ref><ref name=Sha1999>{{cite book | editor1-first=Dennis A. | editor1-last=Hejhal | editor2-last=Friedman | editor2-first=Joel | editor3-last=Gutzwiller | editor3-first=Martin C. | editor4-last=Odlyzko | editor4-first=Andrew M. | title=Emerging applications of number theory. Based on the proceedings of the IMA summer program, Minneapolis, MN, USA, July 15--26, 1996 | series=The IMA volumes in mathematics and its applications | volume=109 | publisher=Springer-Verlag | year=1999 | isbn=0-387-98824-6 | last=Shallit | first=Jeffrey | chapter=Number theory and formal languages | pages=547–570 }}</ref>
:: <math>\sum_{n=0}^\infty 2^{-2^n}</math>
: больш агульна, любы лік віду
:: <math>\sum_{n=0}^\infty \beta^{2^n}</math>
: дзе 0 < |β| < 1, β — алгебраічны лік<ref name=Lox1988>{{cite book | first=J. H. | last=Loxton | chapter=13.  Automata and transcendence | title=New Advances in Transcendence Theory | url=https://archive.org/details/newadvancestrans1986bake | editor1-link=Alan Baker (mathematician) | editor1-first=A. |  editor1-last=Baker | publisher=Cambridge University Press | year=1988 | isbn=0-521-33545-0 | zbl=0656.10032 | pages=[https://archive.org/details/newadvancestrans1986bake/page/n113 215]–228 }}</ref>.
* Вышэйназваная пастаянная Ліувіля
:: <math>\sum_{n=1}^\infty 10^{-n!};</math>
: больш агульна, любы лік віду
:: <math>\sum_{n=1}^\infty \beta^{n!}</math>
: дзе 0 < |β| < 1 і β алгебраічнае
* {{нп3|Сталая Пруэ — Туэ — Морса||en|Prouhet–Thue–Morse constant}}<ref>{{cite journal | first=Kurt | last=Mahler | authorlink=Курт Малер | title=Arithmetische Eigenschaften der Lösungen einer Klasse von Funktionalgleichungen | journal=Math. Annalen | volume=101 | year=1929 | pages=342–366 | jfm=55.0115.01 }}</ref><ref>Allouche & Shallit (2003) p.387</ref>.
* Любы лік, чые лічбы па некаторай аснове ўтвараюць {{нп3|слова Штурма|«слова Штурма»|en|Sturmian word}}<ref>{{cite book | last=Pytheas Fogg | first=N. | others=Editors Berthé, Valérie; Ferenczi, Sébastien; Mauduit, Christian; Siegel, A. | title=Substitutions in dynamics, arithmetics and combinatorics | series=Lecture Notes in Mathematics | volume=1794 | location=Berlin | publisher=Springer-Verlag | year=2002 | isbn=3-540-44141-7 | zbl=1014.11015 }}</ref>.
* Пры β > 1
:: <math>\sum_{k=0}^\infty 10^{-\left\lfloor \beta^{k} \right\rfloor},</math>
: дзе <math>\beta\mapsto\lfloor \beta \rfloor</math> — [[цэлая частка]] ліку β.

== Лікі, пра якія невядома, трасцэндэнтныя яны ці не ==
Лікі, для якіх на сёння не даказана ні іх трансцэндэнтнасць, ні іх алгебраічнасць:
* Большасць сум, здабыткаў, ступеней і пад. ліку π і [[Лік e|ліку ''e'']]. Напрыклад, для лікаў π + ''e'', π − ''e'', π''e'', π/''e'', π<sup>π</sup>, ''e''<sup>''e''</sup>, π<sup>''e''</sup>, π<sup>&radic;{{overline|2}}</sup>, ''e''<sup>π²</sup> невядома, рацыянальныя яны, алгебраічныя ірацыянальныя ці трасцэндэнтныя. Вядомымі выключэннямі з'яўляюцца π + ''e''<sup>π</sup>, π''e''<sup>π</sup> і ''e''<sup>π&radic;''{{overline|n}}''</sup> (для любога дадатнага цэлага ''n''), для якіх было даказана, што яны трансцэндэнтныя<ref>{{MathWorld|IrrationalNumber|Irrational Number}}</ref><ref>[http://mr.crossref.org/iPage/?doi=10.1070%2FSM1996v187n09ABEH000158 Modular functions and transcendence questions, Yu. V. Nesterenko, Sbornik: Mathematics(1996), 187(9):1319]</ref>.
* [[Пастаянная Эйлера — Маскероні]] ''γ'' (не даказана нават яе ірацыянальнасць).
* [[Пастаянная Каталана]], для якой таксама невядома, ці ірацыянальная яна.
* [[Пастаянная Аперы]], ζ(3) (якая, як даказаў [[Аперы]], з'яўляецца ірацыянальным лікам)
* [[Дзэта-функцыя Рымана|Рыманава дзэта-функцыя]] ў іншых няцотных натуральных пунктах, ζ(5), ζ(7), … (невядома, ірацыянальныя яны ці не.)
* {{нп3|Сталыя Фейгенбаўма||en|Feigenbaum constants}}, δ і α.

Гіпотэзы:
* {{нп3|Гіпотэза Шэнуэла||en|Schanuel's conjecture}},
* {{нп3|Гіпотэза чатырох экспанент||en|Four exponentials conjecture}}.

== Накід доказу трасцэндэнтнасці ліку ''e'' ==
Першы доказ, што [[лік e|аснова натуральных лагарыфмаў, ''e'']], — трасцэндэнтны лік, адносіцца да 1873 года. Тут будзем ісці шляхам [[Давід Гільберт|Давіда Гільберта]] (1862—1943), які спрасціў першапачатковы доказ [[Шарль Эрміт|Шарля Эрміта]]. Ідэя наступная:

Будзем даказваць ад процілеглага.
Дапусцім, што лік ''e'' алгебраічны. Тады існуе канечны набор цэлых каэфіцыентаў ''c''<sub>0</sub>, ''c''<sub>1</sub>, …, ''c<sub>n</sub>'', якія задавальняюць ураўненне:

: <math>c_{0}+c_{1}e+c_{2}e^{2}+\cdots+c_{n}e^{n}=0, \qquad c_0, c_n \neq 0.</math>

Цяпер для натуральнага ''k'', вызначым наступны мнагачлен:

: <math> f_k(x) = x^{k} \left [(x-1)\cdots(x-n) \right ]^{k+1},</math>

і дамножым абедзве часткі вышэйпрыведзенага ўраўнення на

: <math>\int^{\infty}_{0} f_k e^{-x}\,dx,</math>

каб атрымаць ураўненне:

: <math>c_{0} \left (\int^{\infty}_{0} f_k e^{-x}\,dx\right )+ c_1e\left ( \int^{\infty}_{0}f_k e^{-x}\,dx\right )+\cdots+ c_{n}e^{n} \left (\int^{\infty}_{0}f_k e^{-x}\,dx\right ) = 0.</math>

Гэта ўраўненне можна запісаць у выглядзе

: <math>P+Q=0,</math>

дзе

: <math>P =c_{0}\left ( \int^{\infty}_{0}f_k e^{-x}\,dx\right )+ c_{1}e\left (\int^{\infty}_{1}f_k e^{-x}\,dx\right )+ c_{2}e^{2}\left (\int^{\infty}_{2}f_k e^{-x}\,dx\right ) +\dots+ c_{n}e^{n}\left (\int^{\infty}_{n}f_k e^{-x}\,dx\right ) </math>
: <math>Q=c_{1}e\left (\int^{1}_{0} f_k e^{-x}\,dx\right )+c_{2}e^{2} \left (\int^{2}_{0} f_k e^{-x}\,dx\right )+\dots+c_{n}e^{n}\left (\int^{n}_{0} f_k e^{-x}\,dx \right ) </math>

'''Лема 1.''' Няхай цэлы лік ''k'' выбраны так, што ''k+1'' — [[просты лік]], тады <math>\tfrac{P}{k!}</math> — ненулявы цэлы лік.

<blockquote>'''Доказ.''' Пакажам, што кожны член у ''P'' з'яўляецца цэлым лікам, дамножаным на суму фактарыялаў. Гэта вынікае з наступных разважанняў.

Для любога натуральнага ''j'' справядліва роўнасць
: <math>\int^{\infty}_{0}x^{j}e^{-x}\,dx=j!</math>
(гл. [[Гама-функцыя]]).

У складніках віду
: <math>c_{a}e^{a}\int^{\infty}_{a} f_k e^{-x}\,dx,</math>
дзе ''a'' — цэлы лік,  0 < ''a'' ≤ ''n'', пад інтэгралам замест ''x'' падставім ''x''—''a''. Пасля замены вынесем з-пад інтэграла множнік ''e''<sup>-''a''</sup>, пад інтэгралам застанецца здабытак паказчыкавай функцыі і мнагачлена ''f''<sub>''k''</sub>(''x''—''a''), які мае цэлыя каэфіцыенты і дзеліцца на ''x''<sup>''k''+1</sup>. Такім чынам, ''P'' ператвараецца ў суму інтэгралаў віду

: <math>\int^{\infty}_{0}x^{j}e^{-x}\,dx,</math>

дзе ''k''+1 ≤ ''j'', і, такім чынам, гэта цэлы лік, які дзеліцца на (''k''+1)!. Пасля дзялення на ''k!'', атрымліваем нуль [[модульная арыфметыка|па модулю]] (''k''+1).

Аднак, можна запісаць:

: <math>\int^{\infty}_{0} f_k e^{-x}\,dx = \int^{\infty}_{0} \left ([(-1)^{n}(n!)]^{k+1}e^{-x}x^k + \dots \right ) dx</math>

і адсюль для складніка з каэфіцыентам ''c''<sub>0</sub> атрымліваем

: <math>{\frac{1}{k!}}c_{0}\int^{\infty}_{0}  f_k e^{-x}\,dx = c_{0}[(-1)^{n}(n!)]^{k+1} \qquad \mod (k+1).</math>

Выбіраючы ''k'' так, каб ''k''+1 было простым лікам, большым за ''n'' і |''c''<sub>0</sub>|, атрымліваем, што <math>\tfrac{P}{k!}</math> не роўны нулю па модулю (''k''+1) і, такім чынам, ненулявы.</blockquote>

'''Лема 2.''' <math>\left|\tfrac{Q}{k!}\right|<1</math> для дастаткова вялікага ''k''.

<blockquote> '''Доказ.''' Заўважым, што
: <math>f_k e^{-x} = x^{k}[(x-1)(x-2)\dots(x-n)]^{k+1}e^{-x} = \left ([x(x-1)\dots(x-n)]^k \right ) \left ((x-1)\dots(x-n)e^{-x}\right ).</math>

Усе сумножнікі ў правай частцы непарыўныя і абмежаваныя на адрэзку [0,''n'']. Таму існуюць такія велічыні G і H (незалежныя ад ''k''), што для любых ''x'' на [[адрэзак, матэматыка|адрэзку]] [0,''n''] спраўджваюцца няроўнасці
: <math>|x(x-1)\dots(x-n)| \le G,</math>
: <math>|(x-1)\dots(x-n)e^{-x}| \le H.</math>
Адсюль атрымліваем
:<math>|Q|<G^{k}H(|c_{1}|e+2|c_{2}|e^{2}+\dots+n|c_{n}|e^{n}).</math>

З гранічнай роўнасці
: <math>\lim_{k\to\infty}\frac{G^k}{k!}=0</math>
вынікае, што
: <math>\lim_{k\to\infty}\frac{Q}{k!}=0,</math>
чаго дастаткова, каб завяршыць доказ лемы.
</blockquote>

Заўважаючы, што ''k'' можна выбраць так, каб спраўджваліся абедзве лемы, атрымліваем супярэчнасць, неабходную, каб даказаць трасцэндэнтнасць ліку ''e''.

=== Трасцэндэнтнасць ліку π ===
Падобны падыход (у першапачатковым Ліндэманавым доказе выкарыстоўваўся іншы) можна выкарыстаць, каб паказаць, что [[Пі|лік π]] трансцэндэнтны. Акрамя таго, у доказе важную ролю адыгрываюць [[гама-функцыя]] і некаторыя ацэнкі (як і ў доказе для ''e''), а таксама факты аб [[сіметрычны мнагачлен|сіметрычных мнагачленах]].

Больш падрабязныя звесткі пра доказы трансцэндэнтнасці π і ''e'' гл. у спасылках на крыніцы і сеціўныя рэсурсы.

== Класіфікацыя Малера ==
У 1932 годзе [[Курт Малер]] раздзяліў усе трасцэндэнтныя лікі на 3 класы, названыя '''S''', '''T''', і '''U'''<ref name=Bug250>Bugeaud (2012) p.250</ref>. Вызначэнне гэтых класаў заснавана на пашырэнні ідэі [[лік Ліувіля|лікаў Ліувіля]] (згаданых вышэй).

=== Мера ірацыянальнасці рэчаіснага ліку ===
Адзін са спосабаў вызначыць лік Ліувіля — разгледзець, наколькі малымі зададзены рэчаісны лік '''x''' робіць лінейныя мнагачлены |''qx''&nbsp;−&nbsp;''p''|, не зануляючы іх. Тут ''p'', ''q'' — цэлыя лікі, такія што |''p''|, |''q''| абмежаваныя дадатным цэлым&nbsp;''H''.

Няхай ''m''(''x'',&nbsp;1,&nbsp;''H'') — найменшае ненулявое абсалютнае значэнне, якое прымаюць гэтыя мнагачлены. Возьмем:

: <math>\omega(x, 1, H) = - \frac{\log m(x, 1, H)}{\log H}</math>
: <math>\omega(x, 1)= \limsup_{H\to\infty} \omega(x,1,H).</math>

ω(''x'',&nbsp;1) часта называецца '''мераю ірацыянальнасці''' рэчаіснага ліку&nbsp;''x''. Для рацыянальных лікаў, ω(''x'',&nbsp;1) = 0, для ірацыянальных жа лікаў яна не меншая за 1. Лікі Ліувіля вызначаны так, што іх мера ірацыянальнасці бесканечная. {{нп3|Тэарэма Туэ – Зігеля – Рота|Тэарэма Рота|en|Thue–Siegel–Roth theorem}} сцвярджае, што ірацыянальныя рэчаісныя алгебраічныя лікі маюць меру ірацыянальнасці 1.

=== Мера трансцэндэнтнасці камплекснага ліку ===
Далей разгледзім значэнні мнагачленаў у камплексным пункце ''x'', калі гэтыя мнагачлены маюць цэлыя каэфіцыенты, ступень не больш за ''n'', і [[вышыня мнагачлена|вышыню]] не больш за ''H'', дзе ''n'' і ''H'' — [[Натуральны лік|натуральныя лікі]].

Няхай ''m''(''x'',''n'',''H'') — найменшае ненулявое абсалютнае значэнне, якое такія мнагачлены прымаюць у пункце ''x''. Прымем:
: <math>\omega(x, n, H) = - \frac{\log m(x, n, H)}{n\log H}</math>
: <math>\omega(x, n)= \limsup_{H\to\infty} \omega(x,n,H).</math>

Дапусцім, гэта раўняецца бесканечнасці для некаторага найменшага натуральнага ''n''. Камплексны лік ''x'' у гэтым выпадку называецца '''U-лікам''' ступені ''n''.

Цяпер можна вызначыць велічыню
: <math>\omega (x) =\limsup_{n\to\infty}\omega(x,n).</math>
ω(''x'') часта называецца '''мераю трансцэндэнтнасці''' ліку&nbsp;''x''. Калі ω(''x'',''n'') абмежаваныя, тады ω(''x'') канечная, і ''x'' называецца '''S-лікам'''. Калі велічыні ω(''x'',''n'') канечныя, але неабмежаваныя, ''x'' называецца '''T-лікам'''. Лік ''x'' алгебраічны, калі і толькі калі&nbsp;ω(''x'')&nbsp;=&nbsp;0.

Відавочна, лікі Ліувіля з'яўляюцца падмноствам U-лікаў. Уільям ЛеВекью ({{lang-en|William LeVeque}}) у 1953 годзе пабудаваў U-лікі адвольнай ступені<ref name="Baker, p. 86">Baker (1975) p. 86.</ref><ref name=LV172>LeVeque (2002) p.II:172</ref>. [[Лікі Ліувіля]] і, такім чынам, U-лікі з'яўляюцца незлічальнымі мноствамі. [[Мера Лебега|Лебегава мера]] гэтых мностваў раўняецца нулю<ref>Burger and Tubbs, p. 170.</ref>.

T-лікі таксама складаюць мноства меры 0<ref>Burger and Tubbs, p. 172.</ref>. Спатрэбілася каля 35 год, каб паказаць, што яны існуюць. [[Вольфганг Шміт]] у 1968 годзе паказаў, што прыклады такіх лікаў існуюць. Такім чынам, атрымліваецца, што [[амаль усе]] камплексныя лікі з'яўляюцца S-лікамі<ref name=Bug251/>. Малер даказаў, што [[паказчыкавая функцыя]] пераводзіць усе ненулявыя алгебраічныя лікі ў S-лікі<ref>LeVeque (2002) pp.II:174-186</ref><ref>Burger and Tubbs, p. 182.</ref>: гэта паказвае, што ''e'' ёсць S-лік, і дае доказ трансцэндэнтнасці ліку π. Амаль усё, што вядома пра лік π, — гэта тое, што ён не U-лік. Многія іншыя трансцэндэнтныя лікі застаюцца некласіфікаванымі.

Два лікі ''x'' і ''y'' называюцца '''алгебраічна залежнымі''', калі існуе ненулявы мнагачлен ''P'' ад 2 невядомых з цэлымі каэфіцыентамі, такі што ''P''(''x'',&nbsp;''y'')&nbsp;=&nbsp;0. Ёсць моцная тэарэма, якая сцвярджае: калі два камплексныя лікі алгебраічна залежныя, то яны належаць аднаму Малераваму класу<ref name=LV172/><ref>Burger and Tubbs, p. 163.</ref>. Гэта дазваляе будаваць новыя трансцэндэнтныя лікі, такія як сума ліку Ліувіля з ''e'' ці&nbsp;π.

Часта мяркуюць, што S абазначае імя Малеравага настаўніка [[Карл Людвіг Зігель|Карла Людвіга Зігеля]], а T і U — проста дзве наступныя літары.

=== Эквівалентная класіфікацыя Коксмы ===
[[Юр'ен Коксма]] ў 1939 прапанаваў іншую класіфікацыю, заснаваную на прыбліжэнні алгебраічнымі лікамі<ref name=Bug250/><ref name=Baker87>Baker (1975) p.87</ref>.

Разгледзім прыбліжэнне камплекснага ліку ''x'' алгебраічнымі лікамі ступені ≤&nbsp;''n'' і вышыні ≤&nbsp;''H''. Няхай α — алгебраічны лік з гэтага канечнага мноства, такі што |''x''&nbsp;−&nbsp;α| мае найменшае дадатнае значэнне. Вызначым ω*(''x'',''H'',''n'') і ω*(''x'',''n'') паводле суадносін:

: <math>|x-\alpha| = H^{-n\omega^*(x,H,n)-1}.</math>
: <math>\omega^*(x,n) = \limsup_{H\to\infty} \omega^*(x,n,H).</math>

Калі для некаторага найменшага натуральнага ''n'' велічыня ω*(''x'',''n'') бесканечная, ''x'' называецца '''U*-лікам''' ступені&nbsp;''n''.

Калі велічыні ω*(''x'',''n'') абмежаваныя і пры нарастанні ''n'' не збягяюцца да 0, ''x'' называецца '''S*-лікам''',

Лік ''x'' называецца '''A*-лікам''', калі ω*(''x'',''n'') збягаецца да&nbsp;0 пры імкненні ''n'' да бесканечнасці.

Калі велічыні ω*(''x'',''n'') ўсе канечныя, але неабмежаваныя, ''x'' называецца '''T*-лікам'''.

Класіфікацыі Коксмы і Малера эквівалентныя ў тым, што яны падзяляюць трансцэндэнтныя лікі на тыя самыя класы<ref name=Baker87/>. ''A*''-лікі — гэта алгебраічныя лікі<ref name=Bug251>Bugeaud (2012) p.251</ref>.

=== Канструкцыя ЛеВекью ===

Няхай

: <math>\lambda= \tfrac{1}{3} + \sum_{k=1}^\infty 10^{-k!}</math>

Можна паказаць, што корань n-ай ступені з λ (ліку Ліувіля) з'яўляецца U-лікам ступені ''n''<ref>Baker(1979), p. 90.</ref>.

Гэту канструкцыю можна палепшыць, каб пабудаваць незлічальнае сямейства U-лікаў ступені ''n''. Няхай ''Z'' — мноства, якое складаецца з усіх ступеней дзясяткі ў вышэйпрыведзеным радзе для λ. Мноства ўсіх падмностваў ''Z'' незлічальнае. Выдаленне любога з падмностваў мноства ''Z'' з рада для λ стварае незлічальна многа розных лікаў Ліувіля, чые карані ''n''-й ступені з'яўляюцца U-лікамі ступені ''n''.

=== Тып ===
[[Дакладная верхняя мяжа]] паслядоўнасці {ω(''x'',&nbsp;''n'')} называецца '''тыпам'''. Амаль усе рэчаісныя лікі з'яўляюцца S-лікамі тыпу 1, які з'яўляецца найменшым для рэчаісных S-лікаў. Амаль усе камплексныя лікі з'яўляюцца S-лікамі тыпу 1/2, які таксама найменшы для камплексных S-лікаў. Сцвярджэнне для амаль усіх лікаў было сфармулявана [[Курт Малер|Малерам]] (т. зв. '''праблема Малера''') і ў 1965 годзе даказана [[Уладзімір Генадзевіч Спрынджук|Уладзімірам Спрынджуком]]<ref name="Baker, p. 86"/>.

== Гл. таксама ==
* [[Тэорыя трансцэндэнтнасці]] — галіна тэорыі лікаў, у якой разглядаюцца пытанні, звязаныя з трансцэндэнтнымі лікамі
* [[Алгебраічны лік]]
* [[Ірацыянальны лік]]

== Зноскі ==
{{reflist|2}}

== Літаратура ==
* {{крыніцы/БелЭн|15|Трансцэндэ́нтны лік||513—514}}
* {{Кніга|загаловак=Матэматычная энцыклапедыя|адказны=Гал. рэд. [[Васіль Іванавіч Бернік|В. Бернік]]|месца=Мн.|выдавецтва=Тэхналогія|год=2001|старонак=496|тыраж=1000|isbn=985-458-059-8|ref=МатЭн|частка=Трансцэндэ́нтны лік|старонкі=341}}
* {{крыніцы/МатЭС|Трансценде́нтное число́||587}}
* {{артыкул |аўтар=Фельдман Н. |спасылка=http://kvant.mccme.ru/1983/07/algebraicheskie_i_transcendent.htm |загаловак=Алгебраические и трансцендентные числа |выданне=[[Квант, часопіс|Квант]] |нумар=7 |год=1983 |старонкі=2—7}}
* David Hilbert, «Über die Transcendenz der Zahlen ''e'' und <math>\pi</math>», ''Mathematische Annalen'' '''43''':216-219 (1893).
* A. O. Gelfond, ''Transcendental and Algebraic Numbers'', Dover reprint (1960).
* {{cite book | first=Alan | last=Baker | title=Transcendental Number Theory | url=https://archive.org/details/transcendentalnu0000bake | publisher=Cambridge University Press | year=1975 | isbn=0-521-20461-5 | zbl=0297.10013 }}
* {{cite book | last=Mahler | first=Kurt | title=Lectures on Transcendental Numbers | series=Lecture Notes in Mathematics | volume=546 | publisher=Springer-Verlag | year=1976 | isbn=3-540-07986-6 | zbl=0332.10019 }}
* {{cite book | zbl=0482.10047 | last=Sprindzhuk | first=Vladimir G.  | title=Metric theory of Diophantine approximations | url=https://archive.org/details/metrictheoryofdi0000spri | others=Transl. from the Russian and ed. by Richard A. Silverman. With a foreword by Donald J. Newman | series=Scripta Series in Mathematics | publisher=John Wiley & Sons | year=1979 | isbn= }}
* {{cite book | last = LeVeque | first = William J. | title = Topics in Number Theory, Volumes I and II | url = https://archive.org/details/topicsinnumberth0000leve | publisher = Dover Publications | location = New York | year = 2002 |origyear = 1956 | isbn = 978-0-486-42539-9 }}
* {{cite book | last1 = Allouche | first1 = Jean-Paul | last2 = Shallit | first2 = Jeffrey | isbn = 978-0-521-82332-6 | publisher = Cambridge University Press | title = Automatic Sequences: Theory, Applications, Generalizations | year = 2003 | zbl=1086.11015 }}
* {{cite book | last1=Burger | first1=Edward B. | last2=Tubbs | first2=Robert | title=Making transcendence transparent. An intuitive approach to classical transcendental number theory | location=New York, NY | publisher=Springer-Verlag | year=2004 | isbn=0-387-21444-5 | zbl=1092.11031 }}
* Peter M Higgins, «Number Story» Copernicus Books, 2008, ISBN 978-1-84800-001-8.
* {{cite book | last=Bugeaud | first=Yann | title=Distribution modulo one and Diophantine approximation | series=Cambridge Tracts in Mathematics | volume=193 | location=Cambridge | publisher=Cambridge University Press | year=2012 | isbn=978-0-521-11169-0 | zbl=pre06066616 }}

== Спасылкі ==
* {{MathWorld|TranscendentalNumber|Трансцэндэнтны лік}}
* {{MathWorld|IrrationalityMeasure|Мера ірацыянальнасці}}
* {{en icon}} [http://planetmath.org/encyclopedia/EIsTranscendental.html Доказ трансцэндэнтнасці ліку ''e''] {{Архівавана|url=https://web.archive.org/web/20110815060747/http://planetmath.org/encyclopedia/EIsTranscendental.html |date=15 жніўня 2011 }}
* {{en icon}} [http://deanlm.com/transcendental/ Доказ трасцэндэнтнасці пастаяннай Ліувіля] {{Архівавана|url=https://web.archive.org/web/20160304233512/http://deanlm.com/transcendental/ |date=4 сакавіка 2016 }}
* {{de icon}} [http://www.mathematik.uni-muenchen.de/~fritsch/euler.pdf Доказ трансцэндэнтнасці ліку ''e'' (PDF)] {{Архівавана|url=https://web.archive.org/web/20110716060646/http://www.mathematik.uni-muenchen.de/~fritsch/euler.pdf |date=16 ліпеня 2011 }}
* {{de icon}} [http://www.mathematik.uni-muenchen.de/~fritsch/pi.pdf Доказ трансцэндэнтнасці ліку <math>\pi</math> (PDF)] {{Архівавана|url=https://web.archive.org/web/20110716060726/http://www.mathematik.uni-muenchen.de/~fritsch/pi.pdf |date=16 ліпеня 2011 }}
{{Вонкавыя спасылкі}}
{{Лікі}}

[[Катэгорыя:Трансцэндэнтныя лікі|*]]
[[Катэгорыя:Лікі]]