Прагляд зыходнага тэксту старонкі Трыганаметрычныя функцыі

{{redirect|sin}}
{{redirect|sec|SEC}}
{{redirect|Сінус}}
[[Файл:Trigonometric-functions.svg|thumb|Графікі трыганаметрычных функцый: {{легенда|#00A|сінуса|inline}} {{легенда|#0A0|косінуса|inline}} {{легенда|#A00|тангенса|inline}} {{легенда|#0AA|катангенса|inline}} {{легенда|#A0A|секанса|inline}} {{легенда|#AA0|касеканса|inline}}]]
'''Трыганаметры́чныя фу́нкцыі''' — [[элементарныя функцыі]], якія гістарычна ўзніклі пры разгляданні [[Трохвугольнік|прамавугольных трохвугольнікаў]] і выражалі залежнасці старон такіх трохвугольнікаў ад вострых вуглоў пры [[Гіпатэнуза|гіпатэнузе]] (ці, што раўназначна, залежнасць [[Хорда (геаметрыя)|хорд]] і вышынь ад [[Цэнтральны вугал|цэнтральнага вугла]] ў [[круг|крузе]]). Гэтыя функцыі шырока прымяняюцца ў самых розных галінах навукі. У далейшым азначэнне трыганаметрычных функцый было пашырана спачатку на ўсе [[рэчаісны лік|рэчаісныя лікі]], а пасля і на ўсе [[камплексны лік|камплексныя]]. Раздзел матэматыкі, які займаецца вывучэннем уласцівасцей трыганаметрычных функцый, называецца [[Трыганаметрыя|трыганаметрыяй]].

Да трыганаметрычных функцый адносяцца:
; прамыя трыганаметрычныя функцыі
* сінус (<math>\sin x</math>)
* косінус  (<math>\cos x</math>)
; вытворныя трыганаметрычныя функцыі
* тангенс (<math>\operatorname{tg} x</math>)
* катангенс (<math>\operatorname{ctg} x</math>)
; іншыя трыганаметрычныя функцыі
* секанс (<math>\sec x</math>) 
* касеканс (<math>\operatorname{cosec} x</math>)

У заходняй літаратуры тангенс, катангенс і касеканс часта абазначаюцца <math>\tan x, \cot x, \csc x</math>. 

Акрамя гэтых шасці, існуюць таксама некаторыя [[малаўжывальныя трыганаметрычныя функцыі]] (версінус і г.д.), а таксама [[адваротныя трыганаметрычныя функцыі]] (арксінус, арккосінус і г. д.).

Сінус і косінус рэчаіснага аргумента з'яўляюцца перыядычнымі [[Непарыўная функцыя|непарыўнымі]] і неабмежавана [[Дыферэнцавальная функцыя|дыферэнцавальнымі]] рэчаісназначнымі функцыямі. Астатнія чатыры функцыі на рэчаіснай восі таксама рэчаісназначныя, перыядычныя і неабмежавана дыферэнцавальныя на вобласці вызначэння, але маюць разрывы. Тангенс і секанс маюць [[Разрыў другога роду|разрывы другога роду]] ў пунктах <math>\pm \pi n + \frac{\pi}{2}</math>, а катангенс і касеканс — у пунктах <math>\pm \pi n</math>.

== Спосабы вызначэння ==

=== Геаметрычнае азначэнне ===

==== Праз адносіны старон прамавугольнага трохвугольніка ====
[[Файл:Direct trg.svg|150px|thumb|Прамавугольны трохвугольнік]]

Звычайна трыганаметрычныя функцыі вызначаюцца геаметрычна. У многіх падручніках па элементарнай геаметрыі да цяперашняга часу трыганаметрычныя функцыі вострага вугла вызначаюцца як адносіны старон прамавугольнага трохвугольніка. Няхай {{math|''OAB''}} — трохвугольнік з вуглом {{math|α}}. Тады:

* Сінусам вугла <math>\alpha</math> называецца дзель <math>\frac{AB}{OB}</math> (адносіна процілеглага катэта да гіпатэнузы).
* Косінусам вугла <math>\alpha</math> называецца дзель <math>\frac{OA}{OB}</math> (адносіна прылеглага катэта да гіпатэнузы).
* Тангенсам вугла <math>\alpha</math> называецца дзель <math>\frac{AB}{OA}</math> (адносіна процілеглага катэта к прылегламу).
* Катангенсам вугла <math>\alpha</math> называецца дзель <math>\frac{OA}{AB}</math> (адносіна прылеглага катэта да процілеглага).
* Секансам вугла <math>\alpha</math> называецца дзель <math>\frac{OB}{OA}</math> (адносіна гіпатэнузы да прылеглага катэта).
* Касекансам вугла <math>\alpha</math> называецца дзель <math>\frac{OB}{AB}</math> (адносіна гіпатэнузы да процілеглага катэта).

Пабудаваўшы сістэму каардынат з пачаткам у пункце {{math|''O''}}, напрамкам восі абсцыс уздоўж {{math|''OA''}} і ў выпадку неабходнасці памяняўшы арыентацыю (перавярнуўшы) трохвугольнік так, каб ён знаходзіўся ў першай чвэрці сістэмы каардынат, і затым, пабудаваўшы акружнасць з радыусам, роўным гіпатэнузе, адразу знаходзім, што такое азначэнне функцый дае такі ж вынік, як і прыведзенае ніжэй вызначэнне праз каардынаты пункта на акружнасці.

Азначэнне праз адносіны старон прамавугольнага трохвугольніка пры выкладанні мае пэўныя перавагі, бо не патрабуе ўвядзення паняцця [[сістэма каардынат|сістэмы каардынат]]. Але такое азначэнне мае і істотны недахоп: не дае магчымасці вызначыць трыганаметрычныя функцыі для тупых вуглоў, якія неабходна ведаць для рашэння элементарных задач пра тупавугольныя трохвугольнікі (гл.: [[Тэарэма сінусаў]], [[Тэарэма косінусаў]]).

==== Як каардынаты пункта на адзінкавай акружнасці ====
[[Файл:Trigonometric function.svg|338px|thumb|Лікавыя значэнні трыганаметрычных функцый вугла <math>\alpha</math> ў адзінкавай акружнасці з цэнтрам у пачатку каардынат]]

Няхай зададзена [[дэкартава сістэма каардынат]] на плоскасці, і пабудавана акружнасць радыуса {{math|''R''}} з цэнтрам у пачатку каардынат {{math|''O''}}. Вымераем вуглы як павароты ад дадатнага напрамку восі абсцыс да прамяня {{math|''OB''}}. Напрамак супраць гадзіннікавай стрэлкі лічыцца дадатным, па гадзіннікавай стрэлцы — адмоўным. Абсцысу пункта {{math|''B''}} абазначым <math>x_B</math>, ардынату — <math>y_B</math>.

* Сінусам называецца дзель <math>\sin \alpha=\frac{y_B}{R}.</math>
* Косінусам называецца дзель <math>\cos \alpha=\frac{x_B}{R}.</math>
* Тангенс вызначаецца як <math>\operatorname{tg} \alpha=\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}=\frac{y_B}{x_B}.</math>
* Катангенс вызначаецца як <math>\operatorname{ctg} \alpha=\frac{\cos\alpha}{\sin\alpha}=\frac{x_B}{y_B}.</math>
* Секанс вызначаецца як <math>\sec \alpha=\frac{1}{\cos\alpha}=\frac{R}{x_B}.</math>
* Касеканс вызначаецца як <math>\operatorname{cosec} \alpha=\frac{1}{\sin\alpha}=\frac{R}{y_B}.</math>

Ясна, што значэнні трыганаметрычных функцый не залежаць ад велічыні радыуса акружнасці {{math|''R''}} дзякуючы ўласцівасцям падобных фігур. Часта гэты [[радыус]] прымаюць роўным адзінцы, тады сінус роўны проста ардынаце <math>y_B</math>, а косінус — абсцысе <math>x_B</math>. На рысунку 3 паказаны велічыні трыганаметрычных функцый для [[Адзінкавая акружнасць|адзінкавай акружнасці]].

Калі <math>\alpha</math> — [[рэчаісны лік]], то сінусам <math>\alpha</math> ў [[Матэматычны аналіз|матэматычным аналізе]] называецца сінус вугла, [[радыян]]ная мера якога роўная <math>\alpha</math>, гэтак жа і для іншых трыганаметрычных функцый.

=== Як рашэнні дыферэнцыяльных ураўненняў ===

Функцыі '''косінус''' і '''сінус''' можна вызначыць як [[цотная функцыя|цотнае]] (косінус) і [[няцотная функцыя|няцотнае]] (сінус) рашэнне [[звычайнае дыферэнцыяльнае ўраўненне|дыферэнцыяльнага ўраўнення]]
: <math>\frac{d^2}{d\varphi^2}R(\varphi) = - R(\varphi),</math>
з пачатковымі ўмовамі
:<math>\cos(0) = \sin'(0) = 1.</math>
Гэта значыць як функцыі адной зменнай, другая вытворная якіх раўняецца ім самім, узятым з процілеглым знакам:
: <math>\left(\cos x\right)'' = - \cos x,</math>
: <math>\left(\sin  x\right)'' = - \sin x.</math>

=== Як рашэнні функцыянальных ураўненняў ===
Функцыі '''косінус''' і '''сінус''' можна вызначыць як [[Непарыўная функцыя|непарыўныя рашэнні]] (<math>f</math> і <math>g</math> адпаведна) сістэмы [[Функцыянальнае ўраўненне|функцыянальных ураўненняў]]:

<math>\left\{
\begin{array}{rcl}
f(x+y)&=&f(x)f(y)-g(x)g(y),\\
g(x+y)&=&g(x)f(y)+f(x)g(y).
\end{array}
\right.
</math>

=== Праз рады ===
Скарыстаўшы геаметрыю і ўласцівасці [[граніца функцыі|граніц]], можна даказаць, што вытворная сінуса раўняецца косінусу, а вытворная косінуса раўняецца мінус сінусу. Тады можна скарыстаць тэорыю [[Рад Тэйлара|радоў Тэйлара]] і прадставіць сінус і косінус у выглядзе [[ступенны рад|ступенных радоў]]:
: <math>\sin x=x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\frac{x^7}{7!}+\frac{x^9}{9!}-\cdots = \sum_{n=0}^\infty\frac{(-1)^nx^{2n+1}}{(2n+1)!},</math>
: <math>\cos x=1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}-\frac{x^6}{6!}+\frac{x^8}{8!}-\cdots = \sum_{n=0}^\infty\frac{(-1)^nx^{2n}}{(2n)!}.</math>

Карыстаючыся гэтымі формуламі, а таксама тоеснасцямі
:<math>\operatorname{tg} x = \frac{\sin x}{\cos x}, \quad
\operatorname{ctg} x = \frac{\cos x}{\sin x}, \quad
\sec x = \frac{1}{\cos x}, \quad
\operatorname{cosec} x = \frac{1}{\sin x},</math>
можна знайсці раскладанні ў рад Тэйлара і іншых трыганаметрычных функцый:
: <math>\operatorname{tg} x = x + \frac{1}{3}\,x^3 + \frac{2}{15}\,x^5 + \frac{17}{315}\,x^7 + \frac{62}{2835}\,x^9 + \dots = \sum_{n=1}^\infty\frac{2^{2n}(2^{2n}-1)|B_{2n}|}{(2n)!}x^{2n-1}, \quad \left(-\frac{\pi}{2}<x<\frac{\pi}{2}\right),</math>
: <math>\operatorname{ctg} x = \frac{1}{x} - \frac{x}{3} - \frac{x^3}{45} - \frac{2x^5}{945} - \frac{x^7}{4725} - \dots = \frac{1}{x} - \sum_{n=1}^\infty \frac{2^{2n}|B_{2n}|}{(2n)!}\,x^{2n-1}, \quad \left(-\pi < x < \pi\right),</math>
: <math>\sec x = 1 + \frac{1}{2}\,x^2 + \frac{5}{24}\,x^4 + \frac{61}{720}\,x^6 + \frac{277}{8064}\,x^8 + \dots = \sum_{n=0}^\infty\frac{|E_{n}|}{(2n)!}\,x^{2n}, \quad \left(-\frac{\pi}{2} < x < \frac{\pi}{2}\right),</math>
: <math>\operatorname{cosec} x = \frac{1}{x} + \frac{1}{6}\,x + \frac{7}{360}\,x^3 + \frac{31}{15120}\,x^5 + \frac{127}{604800}\,x^7 + \dots = \frac{1}{x} + \sum_{n=1}^\infty \frac{2(2^{2n-1}-1) |B_{2n}|}{(2n)!}\,x^{2n-1}, \quad \left(-\pi < x < \pi\right),</math>
дзе
: <math>B_n</math> — [[лікі Бернулі]],
: <math>E_n</math> — [[лікі Эйлера I роду|лікі Эйлера]].

== Значэнні трыганаметрычных фунцый для некаторых вуглоў ==
{{Галоўны артыкул|Спіс дакладных трыганаметрычных пастаянных}}

Значэнні сінуса, косінуса, тангенса, катангенса, секанса і касеканса для некаторых вуглоў прыведзены ў табліцы.
Сімвал «∞» значыць, што функцыя ў таком пункце не вызначана, і ў яго наваколлі імкнецца к бесканечнасці.

{| class="standard" cellpadding="5" cellspacing="0" align="left"
! <math> \alpha \,\!</math> || 0°(0 рад)|| 30° ({{math|π}}/6)|| 45° ({{math|π}}/4)|| 60° ({{math|π}}/3)|| 90° ({{math|π}}/2)|| 180° ({{math|π}})|| 270° (3{{math|π}}/2)|| 360° (2{{math|π}})
|-align="center"
||<math> \sin \alpha \,\!</math>||<math>{0} \,\!</math>||<math> \frac{1}{2}\,\!</math>||<math> \frac{\sqrt{2}}{2}\,\!</math>||<math> \frac{ \sqrt{3}}{2}\,\!</math>||<math>{1}\,\!</math>||<math>{0}\,\!</math>||<math>{-1}\,\!</math>||<math>{0}\,\!</math>
|-align="center"
||<math> \cos \alpha \,\!</math>||<math>{1} \,\!</math>||<math>  \frac{ \sqrt{3}}{2}\,\!</math>||<math> \frac{\sqrt{2}}{2}\,\!</math>||<math> \frac{1}{2}\,\!</math>||<math>{0}\,\!</math>||<math>{-1}\,\!</math>||<math>{0}\,\!</math>||<math>{1}\,\!</math>

|-align="center"
||<math> \operatorname{tg} \alpha \,\!</math>||<math>{0} \,\!</math>||<math> \frac{\sqrt{3}}{3}\,\!</math>||<math> {1}\,\!</math>||<math>  \sqrt{3}\,\!</math>|| <math>{\infty}\,\!</math> ||<math>{0}\,\!</math>|| <math>{\infty}\,\!</math> ||<math>{0}\,\!</math>
|-align="center"
||<math> \operatorname{ctg} \alpha \,\!</math>|| <math>{\infty}\,\!</math> ||<math>  \sqrt{3}\,\!</math>||<math>{1} \,\!</math>||<math> \frac{\sqrt{3}}{3}\,\!</math>||<math> {0}\,\!</math>|| <math>{\infty}\,\!</math> ||<math>{0}\,\!</math>|| <math>{\infty}\,\!</math>

|-align="center"
||<math> \sec \alpha \,\!</math>||<math>{1} \,\!</math>||<math>  \frac{2 \sqrt{3}}{3}\,\!</math>||<math>  \sqrt{2}\,\!</math>||<math> {2}\,\!</math>|| <math>{\infty}\,\!</math> ||<math>{-1}\,\!</math>|| <math>{\infty}\,\!</math> ||<math> {1}\,\!</math>
|-align="center"
||<math> \operatorname{cosec} \alpha \,\!</math>|| <math>{\infty}\,\!</math> ||<math> {2}\,\!</math>||<math>  \sqrt{2}\,\!</math>||<math> \frac{2 \sqrt{3}}{3}\,\!</math>||<math>{1}\,\!</math>|| <math>{\infty}\,\!</math> ||<math>{-1}\,\!</math>|| <math>{\infty}\,\!</math>
|}
[[Файл:Unit circle angles.svg|300px|thumb|right|Значэнні косінуса і сінуса на акружнасці.]]

<br clear="all" />

== Уласцівасці трыганаметрычных функцый ==

=== Найпрасцейшыя тоеснасці ===
{{Галоўны артыкул|Трыганаметрычныя тоеснасці}}

Раз сінус і косінус — гэта [[ардыната]] і [[абсцыса]] пункта, які на адзінкавай акружнасці адпавядае вуглу {{math|α}}, то, згодна з ураўненнем адзінкавай акружнасці ці [[Тэарэма Піфагора|тэарэмаю Піфагора]], маем:
:<math>\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1.\,</math>
Гэта роўнасць называецца ''[[Асноўная трыганаметрычная тоеснасць|асноўнай трыганаметрычнай тоеснасцю]]''.

Дзелячы гэту тоеснасць на квадрат косінуса і сінуса соответственно имеем далее:
:<math> 1 + \operatorname{tg}^2 \alpha = \frac{1}{ \cos^2 \alpha},</math>
:<math> 1 + \operatorname{ctg}^2 \alpha = \frac{1}{ \sin^2 \alpha}.</math>

Акрамя таго, непасрэдна з азначэння тангенса і катангенса вынікае тоеснасць:
:<math> \operatorname{tg} \alpha  \cdot \mathop{\mathrm{ctg}}\,\alpha=1.</math>

=== Непарыўнасць ===
Сінус і косінус — [[Непарыўная функцыя|непарыўныя функцыі]]. Тангенс і секанс маюць [[пункт разрыву|пункты разрыву]] <math>\pm90^\circ,\;\pm270^\circ,\;\pm450^\circ,\;\dots;</math> катангенс і касеканс — <math>0^\circ,\;\pm180^\circ,\;\pm360^\circ,\;\dots.</math>

=== Цотнасць ===

Косінус і секанс — [[цотная функцыя|цотныя]]. Астатнія чатыры функцыі — [[няцотная функцыя|няцотныя]], гэта значыць:

: <math> \sin (-\alpha)  =  - \sin \alpha ,</math>
: <math> \cos (-\alpha)  =  \cos \alpha ,</math>
: <math> \operatorname{tg} (-\alpha) = - \operatorname{tg} \alpha ,</math>
: <math> \operatorname{ctg} (-\alpha) = - \operatorname{ctg} \alpha ,</math>
: <math> \sec (-\alpha)  =  \sec \alpha ,</math>
: <math> \operatorname{cosec} (-\alpha) = - \operatorname{cosec} \alpha .</math>

=== Перыядычнасць ===

Функцыі <math> y = \sin x,</math> <math>y = \cos x,</math> <math>y = \sec x,</math> <math>y = \operatorname{cosec} x</math> — [[перыядычная функцыя|перыядычныя]] з перыядам <math>2\pi</math>, функцыі <math> y = \operatorname{tg} x </math> і <math> y = \operatorname{ctg} x</math> — з перыядам <math>\pi</math>.

=== Формулы прывядзення ===
Формуламі прывядзення называюцца формулы наступнага выгляду:
: <math> f ( n \pi + \alpha )  = \pm  f (\alpha),\,</math>
: <math> f ( n \pi - \alpha )  = \pm  f (\alpha),\,</math>
: <math> f \left(  \frac{(2n+1) \pi}{2} + \alpha\right)  = \pm  g (\alpha),\,</math>
: <math> f \left(  \frac{(2n+1) \pi}{2} - \alpha\right)  = \pm  g (\alpha).\,</math>

Тут <math>f</math> — любая трыганаметрычная функцыя, <math>g</math> — адпаведная ёй кафункцыя (г. зн. косінус для сінуса, сінус для косінуса, тангенс для катангенса, катангенс для тангенса, секанс для касеканса і касеканс для секанса), {{math|''n''}} — [[цэлы лік]]. Перад атрыманаю функцыяй ставіцца той знак, які мае зыходная функцыя ў зададзенай каардынатнай чвэрці пры ўмове, што вугал {{math|α}} востры, напрыклад:
: <math> \cos \left(  \frac{ \pi}{2} - \alpha \right)  =   \sin \alpha ,</math>

Некаторыя формулы прывядзення:
{| class="standard" cellpadding="5"
|-align="center"
|<math>\beta\,</math>
|<math>\frac{\pi}{2} + \alpha</math>
|<math>\pi + \alpha\,</math>
|<math>\frac{3\,\pi}{2} + \alpha</math>
|<math>\frac{\pi}{2} - \alpha</math>
|<math>\pi - \alpha\,</math>
|<math>\frac{3\,\pi}{2} - \alpha</math>
|<math>2\,\pi - \alpha</math>
|-align="center"
|<math>\sin\beta\,</math>
|<math>\cos\alpha\,</math>
|<math>-\sin\alpha\,</math>
|<math>-\cos\alpha\,</math>
|<math>\cos\alpha\,</math>
|<math>\sin\alpha\,</math>
|<math>-\cos\alpha\,</math>
|<math>-\sin\alpha\,</math>
|-align="center"
|<math>\cos\beta\,</math>
|<math>-\sin\alpha\,</math>
|<math>-\cos\alpha\,</math>
|<math>\sin\alpha\,</math>
|<math>\sin\alpha\,</math>
|<math>-\cos\alpha\,</math>
|<math>-\sin\alpha\,</math>
|<math>\cos\alpha\,</math>
|-align="center"
|<math>\operatorname{tg}\,\beta</math>
|<math>-\operatorname{ctg}\,\alpha</math>
|<math>\operatorname{tg}\,\alpha</math>
|<math>-\operatorname{ctg}\,\alpha</math>
|<math>\operatorname{ctg}\,\alpha</math>
|<math>-\operatorname{tg}\,\alpha</math>
|<math>\operatorname{ctg}\,\alpha</math>
|<math>-\operatorname{tg}\,\alpha</math>
|-align="center"
|<math>\operatorname{ctg}\,\beta</math>
|<math>-\operatorname{tg}\,\alpha</math>
|<math>\operatorname{ctg}\,\alpha</math>
|<math>-\operatorname{tg}\,\alpha</math>
|<math>\operatorname{tg}\,\alpha</math>
|<math>-\operatorname{ctg}\,\alpha</math>
|<math>\operatorname{tg}\,\alpha</math>
|<math>-\operatorname{ctg}\,\alpha</math>
|}

=== Формулы складання ===
Значэнні трыганаметрычных функцый сумы і рознасці двух вуглоў:
: <math> \sin\left( \alpha \pm \beta \right)= \sin\alpha \, \cos\beta \pm \cos\alpha \, \sin\beta,</math>
: <math> \cos\left( \alpha \pm \beta \right)= \cos\alpha \, \cos\beta \mp \sin\alpha \, \sin\beta,</math>
: <math> \operatorname{tg}\left( \alpha \pm \beta \right) = \frac{\operatorname{tg}\,\alpha \pm \operatorname{tg}\,\beta}{1 \mp \operatorname{tg}\,\alpha \, \operatorname{tg}\,\beta},</math>
: <math> \operatorname{ctg}\left( \alpha \pm \beta \right) = \frac{\operatorname{ctg}\,\alpha\,\operatorname{ctg}\,\beta \mp 1}{\operatorname{ctg}\,\beta \pm \operatorname{ctg}\,\alpha}.</math>

Падобныя формулы для сумы трох вуглоў:
: <math>\sin \left( \alpha + \beta + \gamma \right) = \sin \alpha \cos \beta \cos \gamma + \cos \alpha \sin \beta \cos \gamma + \cos \alpha \cos \beta \sin \gamma - \sin \alpha \sin \beta \sin \gamma,</math>
: <math>\cos \left( \alpha + \beta + \gamma \right) = \cos \alpha \cos \beta \cos \gamma - \sin \alpha \sin \beta \cos \gamma - \sin \alpha \cos \beta \sin \gamma - \cos \alpha \sin \beta \sin \gamma.</math>

=== Формулы для кратных вуглоў ===
Формулы двайнога вугла:
: <math>\sin 2\alpha = 2 \sin \alpha \cos \alpha = \frac{2\,\operatorname{tg}\,\alpha }{1 + \operatorname{tg}^2\alpha} = \frac{2\,\operatorname{ctg}\,\alpha }{1 + \operatorname{ctg}^2\alpha} = \frac{2}{\operatorname{tg}\,\alpha + \operatorname{ctg}\,\alpha},</math>
: <math>\cos 2\alpha = \cos^2 \alpha\,-\,\sin^2 \alpha = 2 \cos^2 \alpha\,-\,1 = 1\,-\,2 \sin^2 \alpha = \frac{1 - \operatorname{tg}^2 \alpha}{1 + \operatorname{tg}^2\alpha} = \frac{\operatorname{ctg}^2 \alpha - 1}{\operatorname{ctg}^2\alpha + 1} = \frac{\operatorname{ctg}\,\alpha - \operatorname{tg}\,\alpha}{\operatorname{ctg}\,\alpha + \operatorname{tg}\,\alpha},</math>
: <math>\operatorname{tg}\,2 \alpha = \frac{2\,\operatorname{tg}\,\alpha}{1 - \operatorname{tg}^2\alpha} = \frac{2\,\operatorname{ctg}\,\alpha}{\operatorname{ctg}^2\alpha - 1} = \frac{2}{\operatorname{ctg}\,\alpha - \operatorname{tg}\,\alpha},</math>
: <math>\operatorname{ctg}\,2 \alpha = \frac{\operatorname{ctg}^2 \alpha - 1}{2\,\operatorname{ctg}\,\alpha} = \frac{\operatorname{ctg}\,\alpha - \operatorname{tg}\,\alpha}{2}.</math>

Формулы трайнога вугла:
: <math>\sin\,3\alpha=3\sin\alpha - 4\sin^3\alpha,</math>
: <math>\cos\,3\alpha=4\cos^3\alpha -3\cos\alpha,</math>
: <math>\operatorname{tg}\,3\alpha=\frac{3\,\operatorname{tg}\,\alpha - \operatorname{tg}^3\,\alpha}{1 - 3\,\operatorname{tg}^2\,\alpha},</math>
: <math>\operatorname{ctg}\,3\alpha=\frac{\operatorname{ctg}^3\,\alpha - 3\,\operatorname{ctg}\,\alpha}{3\,\operatorname{ctg}^2\,\alpha - 1}.</math>

Іншыя формулы для кратных вуглоў:
: <math>\sin\,4\alpha=\cos\alpha \left(4\sin\alpha - 8\sin^3\alpha\right),</math>
: <math>\cos\,4\alpha=8\cos^4\alpha - 8\cos^2\alpha + 1,</math>
: <math>\operatorname{tg}\,4\alpha=\frac{4\,\operatorname{tg}\,\alpha - 4\,\operatorname{tg}^3\,\alpha}{1 - 6\,\operatorname{tg}^2\,\alpha + \operatorname{tg}^4\,\alpha},</math>
: <math>\operatorname{ctg}\,4\alpha=\frac{\operatorname{ctg}^4\,\alpha - 6\,\operatorname{ctg}^2\,\alpha + 1}{4\,\operatorname{ctg}^3\,\alpha - 4\,\operatorname{ctg}\,\alpha},</math>

: <math>\sin\,5\alpha=16\sin^5\alpha-20\sin^3\alpha +5\sin\alpha, </math>
: <math>\cos\,5\alpha=16\cos^5\alpha-20\cos^3\alpha +5\cos\alpha, </math>
: <math>\operatorname{tg}\,5\alpha=\operatorname{tg}\alpha\frac{\operatorname{tg}^4\alpha-10\operatorname{tg}^2\alpha+5}{5\operatorname{tg}^4\alpha-10\operatorname{tg}^2\alpha+1}, </math>
: <math>\operatorname{ctg}\,5\alpha=\operatorname{ctg}\alpha\frac{\operatorname{ctg}^4\alpha-10\operatorname{ctg}^2\alpha+5}{5\operatorname{ctg}^4\alpha-10\operatorname{ctg}^2\alpha+1}, </math>
: <math> \sin (n\alpha)=2^{n-1}\prod^{n-1}_{k=0}\sin\left( \alpha+\frac{\pi k}{n}\right) </math>
Апошняя роўнасць вынікае з формулы дапаўнення і формулы Гауса для [[Гама-функцыя|Гама-функцыі]].

З [[Формула Муаўра|формулы Муаўра]] можна атрымаць наступныя агульныя выразы для кратных вуглоў:
: <math>\sin(n\alpha)=\sum_{k=0}^{[n/2]}(-1)^k\binom{n}{2k+1}\cos^{n-2k-1}\alpha\,\sin^{2k+1}\alpha,</math>
: <math>\cos(n\alpha)=\sum_{k=0}^{[n/2]}(-1)^k\binom{n}{2k}\cos^{n-2k}\alpha\,\sin^{2k}\alpha,</math>
: <math>\mathrm{tg}(n\alpha)=\frac{\sin(n\alpha)}{\cos(n\alpha)}=\dfrac{\displaystyle{\sum\limits_{k=0}^{[n/2]}(-1)^k\binom{n}{2k+1}\mathrm{tg}^{2k+1}\alpha}}{\displaystyle{\sum\limits_{k=0}^{[n/2]}(-1)^k\binom{n}{2k}\mathrm{tg}^{2k}\alpha}},</math>
: <math>\mathrm{ctg}(n\alpha)=\frac{\cos(n\alpha)}{\sin(n\alpha)}=\dfrac{\displaystyle{\sum\limits_{k=0}^{[n/2]}(-1)^k\binom{n}{2k}\mathrm{ctg}^{n-2k}\alpha}}{\displaystyle{\sum\limits_{k=0}^{[n/2]}(-1)^k\binom{n}{2k+1}\mathrm{ctg}^{n-2k-1}\alpha}},</math>
дзе <math>[n]</math> — [[цэлая частка]] ліку <math>n</math>, <math>\binom{n}{k}</math> — [[біномны каэфіцыент]].

Формулы палавіннага вугла:
: <math>\sin\frac{\alpha}{2}=\sqrt{\frac{1-\cos\alpha}{2}},\quad 0 \leqslant \alpha \leqslant 2\pi,</math>
: <math>\cos\frac{\alpha}{2}=\sqrt{\frac{1+\cos\alpha}{2}},\quad -\pi \leqslant \alpha \leqslant \pi,</math>
: <math>\operatorname{tg}\,\frac{\alpha}{2}=\frac{1-\cos\alpha}{\sin\alpha}=\frac{\sin\alpha}{1+\cos\alpha},</math>
: <math>\operatorname{ctg}\,\frac{\alpha}{2}=\frac{\sin\alpha}{1-\cos\alpha}=\frac{1+\cos\alpha}{\sin\alpha},</math>
: <math>\operatorname{tg}\,\frac{\alpha}{2}=\sqrt{\frac{1-\cos\alpha}{1+\cos\alpha}},\quad 0 \leqslant \alpha < \pi,</math>
: <math>\operatorname{ctg}\,\frac{\alpha}{2}=\sqrt{\frac{1+\cos\alpha}{1-\cos\alpha}},\quad 0 < \alpha \leqslant \pi.</math>

=== Здабыткі ===
Формулы для здабыткаў функцый двух вуглоў:
: <math>\sin\alpha \sin\beta = \frac{\cos(\alpha-\beta) - \cos(\alpha+\beta)}{2},</math>
: <math>\sin\alpha \cos\beta = \frac{\sin(\alpha-\beta) + \sin(\alpha+\beta)}{2},</math>
: <math>\cos\alpha \cos\beta = \frac{\cos(\alpha-\beta) + \cos(\alpha+\beta)}{2},</math>
: <math>\operatorname{tg}\,\alpha\,\operatorname{tg}\,\beta = \frac{\cos(\alpha-\beta) - \cos(\alpha+\beta)}{\cos(\alpha-\beta) + \cos(\alpha+\beta)},</math>
: <math>\operatorname{tg}\,\alpha\,\operatorname{ctg}\,\beta = \frac{\sin(\alpha-\beta) + \sin(\alpha+\beta)}{\sin(\alpha+\beta) -\sin(\alpha-\beta)},</math>
: <math>\operatorname{ctg}\,\alpha\,\operatorname{ctg}\,\beta = \frac{\cos(\alpha-\beta) + \cos(\alpha+\beta)}{\cos(\alpha-\beta) - \cos(\alpha+\beta)}.</math>

Аналагічныя формулы для здабыткаў сінусаў і косінусаў трох вуглоў:
: <math>\sin\alpha \sin\beta \sin\gamma = \frac{\sin(\alpha+\beta-\gamma) + \sin(\beta+\gamma-\alpha) + \sin(\alpha-\beta+\gamma) - \sin(\alpha+\beta+\gamma)}{4},</math>
: <math>\sin\alpha \sin\beta \cos\gamma = \frac{-\cos(\alpha+\beta-\gamma) + \cos(\beta+\gamma-\alpha) + \cos(\alpha-\beta+\gamma) - \cos(\alpha+\beta+\gamma)}{4},</math>
: <math>\sin\alpha \cos\beta \cos\gamma = \frac{\sin(\alpha+\beta-\gamma) - \sin(\beta+\gamma-\alpha) + \sin(\alpha-\beta+\gamma) - \sin(\alpha+\beta+\gamma)}{4},</math>
: <math>\cos\alpha \cos\beta \cos\gamma = \frac{\cos(\alpha+\beta-\gamma) + \cos(\beta+\gamma-\alpha) + \cos(\alpha-\beta+\gamma) + \cos(\alpha+\beta+\gamma)}{4}.</math>
Формулы для здабыткаў тангенсаў і катангенсаў трох вуглоў можна атрымаць, падзяліўшы правыя і левыя часткі адпаведных роўнасцей, прадстаўленых вышэй.

=== Ступені ===
{| cellpadding="5"
|<math>\sin^2\alpha = \frac{1 - \cos 2\,\alpha}{2},</math>
|<math>\operatorname{tg}^2\,\alpha = \frac{1 - \cos 2\,\alpha}{1 + \cos 2\,\alpha},</math>
|-
|<math>\cos^2\alpha = \frac{1 + \cos 2\,\alpha}{2},</math>
|<math>\operatorname{ctg}^2\,\alpha = \frac{1 + \cos 2\,\alpha}{1 - \cos 2\,\alpha},</math>
|-
|<math>\sin^3\alpha = \frac{3\sin\alpha - \sin 3\,\alpha}{4},</math>
|<math>\operatorname{tg}^3\,\alpha = \frac{3\sin\alpha - \sin 3\,\alpha}{3\cos\alpha + \cos 3\,\alpha},</math>
|-
|<math>\cos^3\alpha = \frac{3\cos\alpha + \cos 3\,\alpha}{4},</math>
|<math>\operatorname{ctg}^3\,\alpha = \frac{3\cos\alpha + \cos 3\,\alpha}{3\sin\alpha - \sin 3\,\alpha},</math>
|-
|<math>\sin^4\alpha = \frac{\cos 4\alpha - 4\cos 2\,\alpha + 3}{8},</math>
|<math>\operatorname{tg}^4\,\alpha = \frac{\cos 4\alpha - 4\cos 2\,\alpha + 3}{\cos 4\alpha + 4\cos 2\,\alpha + 3},</math>
|-
|<math>\cos^4\alpha = \frac{\cos 4\alpha + 4\cos 2\,\alpha + 3}{8},</math>
|<math>\operatorname{ctg}^4\,\alpha = \frac{\cos 4\alpha + 4\cos 2\,\alpha + 3}{\cos 4\alpha - 4\cos 2\,\alpha + 3}.</math>
|}

=== Сумы ===
: <math> \sin \alpha \pm \sin \beta = 2 \sin \frac{\alpha \pm \beta}{2} \cos \frac{\alpha \mp \beta}{2} </math>
: <math> \cos \alpha + \cos \beta = 2 \cos \frac{\alpha+\beta}{2} \cos \frac{\alpha-\beta}{2} </math>
: <math> \cos \alpha - \cos \beta = - 2 \sin \frac{\alpha+\beta}{2} \sin \frac{\alpha-\beta}{2} </math>
: <math> \operatorname{tg} \alpha \pm \operatorname{tg} \beta = \frac{\sin (\alpha \pm \beta)}{\cos \alpha \cos \beta} </math>
: <math> \operatorname{ctg} \alpha \pm \operatorname{ctg} \beta = \frac{\sin (\beta \pm \alpha)}{\sin \alpha \sin \beta} </math>
: <math> 1 \pm \sin {2 \alpha} = (\sin \alpha \pm \cos \alpha)^2 .</math>

Для функцый ад аргумента <math>x</math> існуе прадстаўленне:
:<math>A \sin \ x + B \cos \ x = \sqrt{A^2 + B^2}\sin( x + \phi ),</math>
дзе вугал <math>\phi</math> вызначаецца з суадносін:
:<math>\sin \phi =  \frac{B}{\sqrt{A^2 + B^2}}, \cos \phi =  \frac{A}{\sqrt{A^2 + B^2}}.</math>

=== Аднапараметрычнае прадстаўленне ===

Усе трыганаметрычныя функцыі можна выразіць праз тангенс палавіннага вугла.

<math>\sin x = \frac{\sin x}{1} = \frac{2\sin \frac{x}{2}\cos \frac{x}{2}}{\sin^2 \frac{x}{2} + \cos^2 \frac{x}{2}} =\frac{2\operatorname{tg} \frac{x}{2}}{1 + \operatorname{tg}^2 \frac{x}{2}}</math>

<math>\cos x = \frac{\cos x}{1} = \frac{\cos^2 \frac{x}{2} - \sin^2 \frac{x}{2}}{\cos^2 \frac{x}{2} + \sin^2 \frac{x}{2}} =\frac{1 - \operatorname{tg}^2 \frac{x}{2}}{1 + \operatorname{tg}^2 \frac{x}{2}}</math>

<math>\operatorname{tg}~x = \frac{\sin x}{\cos x} = \frac{2\operatorname{tg} \frac{x}{2}}{1 - \operatorname{tg}^2 \frac{x}{2}}</math>

<math>\operatorname{ctg}~x = \frac{\cos x}{\sin x} = \frac{1 - \operatorname{tg}^2 \frac{x}{2}}{2\operatorname{tg} \frac{x}{2}}</math>

<math>\sec x = \frac{1}{\cos x} = \frac{1 + \operatorname{tg}^2 \frac{x}{2}}{1 - \operatorname{tg}^2 \frac{x}{2}}</math>

<math>\operatorname{cosec}~x = \frac{1}{\sin x} = \frac{1 + \operatorname{tg}^2 \frac{x}{2}} {2\operatorname{tg} \frac{x}{2}}</math>

== Вытворныя і першаісныя ==
{{Гл. таксама|Спіс інтэгралаў ад трыганаметрычных функцый}}

Усе трыганаметрычныя функцыі непарыўна і неабмежавана дыферэнцавальныя на ўсёй вобласці вызначэння:

<math>( \sin x )' = \cos x ,</math>

<math>( \cos x )' = -\sin x ,</math>

<math>( \operatorname{tg} x )' = \frac{1}{\cos ^2 x},</math>

<math>( \operatorname{ctg} x )' = -\frac{1}{\sin ^2 x},</math>

<math>( \sec x)' = \frac{\sin x}{\cos ^2 x}, </math>

<math>( \operatorname{cosec} x)' = -\frac{\cos x}{\sin ^2 x}. </math>

Нявызначаныя інтэгралы трыганаметрычных функцый на вобласці вызначэння выражаюцца праз элементарныя функцыі наступным чынам:

<math>\int\sin x\, dx = -\cos x + C ,</math>

<math>\int\cos x\, dx = \sin x + C ,</math>

<math>\int\operatorname{tg} x\, dx = -\ln \left| \cos x\right| + C ,</math>

<math>\int\operatorname{ctg} x\, dx = \ln \left| \sin x \right| + C ,</math>

<math>\int\sec x\, dx = \ln \left| \operatorname{tg} \left( \frac {\pi}{4}+\frac{x}{2}\right) \right|+ C,</math>

<math>\int\operatorname{cosec} x\, dx = \ln \left| \operatorname{tg} \frac{x}{2} \right|+ C.</math>

== Трыганаметрычныя функцыі камплекснай зменнай ==

=== Азначэнне ===
[[Формула Эйлера]]:
:<math> e^{i \vartheta} = \cos\vartheta + i\sin\vartheta </math>
дазваляе вызначыць трыганаметрычныя функцыі ад камплексных аргументаў праз [[Паказчыкавая функцыя|паказчыкавую функцыю]] ці (з дапамогай [[Рад (матэматыка)|радоў]]) як [[аналітычны працяг]] іх рэчаісных адпаведнікаў:
: <math>\sin z = \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^{n}}{(2n+1)!}z^{2n+1} = \frac{e^{i z} - e^{-i z}}{2i}\, = \frac{\operatorname{sh}  i z }{i}; </math>

: <math>\cos z = \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^{n}}{(2n)!}z^{2n} = \frac{e^{i z} + e^{-i z}}{2}\, = \operatorname{ch} i z; </math>

: <math>\operatorname{tg}\, z = \frac{\sin z}{\cos z} = \frac{e^{i z} - e^{-i z}}{i(e^{i z} + e^{-i z})}; </math>

: <math>\operatorname{ctg}\, z = \frac{\cos z}{\sin z} = \frac{i(e^{i z} + e^{-i z})}{e^{i z} - e^{-i z}}; </math>

: <math>\sec z = \frac{1}{\cos z} = \frac{2}{e^{i z} + e^{-i z}}; </math>

: <math>\operatorname{cosec}\, z = \frac{1}{\sin z} = \frac{2i}{e^{i z} - e^{-i z}},\, </math>
дзе <math>i^2=-1.</math>

Адпаведна, для рэчаіснага {{math|''x''}},

: <math>\cos x = \operatorname{Re}(e^{i x}),</math>
: <math>\sin x = \operatorname{Im}(e^{i x}).</math>

Камплексныя сінус і косінус цесна звязаны з [[гіпербалічныя функцыі|гіпербалічнымі функцыямі]]:
: <math>\sin (x + iy) = \sin x\, \operatorname{ch} y + i \cos x\, \operatorname{sh} y,</math>
: <math>\cos (x + iy) = \cos x\, \operatorname{ch} y - i \sin x\, \operatorname{sh} y.</math>

Большасць пералічаных вышэй уласцівасцей трыганаметрычных функцый захоўваюцца і ў камплексным выпадку. Некаторыя дадатковыя ўласцівасці:
* камплексныя сінус і косінус, у адрозненне ад рэчаісных, могуць прымаць неабмежавана вялікія па модулю значэнні;
* усе нулі камплексных сінуса і косінуса ляжаць на рэчаіснай восі.

=== Камплексныя графікі ===
На наступных графіках адлюстрована камплексная плоскасць, а значэнні функцый выдзелены колерам. [[Яркасць]] адпавядае абсалютнаму значэнню (чорны — нуль). Колер змяняецца ад аргумента і вугла згодна з [[:Image:Complex coloring.jpg|картаю]].

{| style="text-align:center"
|+ '''Трыганаметрычныя функцыі ў камплекснай плоскасці'''
|[[Файл:Complex sin.jpg|1000x140px|none]]
|[[Файл:Complex cos.jpg|1000x140px|none]]
|[[Файл:Complex tan.jpg|1000x140px|none]]
|[[Файл:Complex Cot.jpg|1000x140px|none]]
|[[Файл:Complex Sec.jpg|1000x140px|none]]
|[[Файл:Complex Csc.jpg|1000x140px|none]]
|-
|<math>
\sin z\,
</math>
|<math>
\cos z\,
</math>
|<math>
\operatorname{tg} z\,
</math>
|<math>
\operatorname{ctg} z\,
</math>
|<math>
\sec z\,
</math>
|<math>
\operatorname{cosec} z\,
</math>
|}

== Гісторыя назваў ==
{{Галоўны артыкул|Гісторыя трыганаметрыі}}

Лінія сінуса ў індыйскіх матэматыкаў першапачаткова называлася «арха-джыва» («паўцеціва», г. зн. палавіна [[Хорда (геаметрыя)|хорды]]), затым слова «арха» было адкінута і лінію сінуса сталі называць проста «джыва». Арабскія перакладчыкі не пераклалі слова «джыва» арабскім словам «ватар», якое абазначае [[цеціва|цеціву]] і хорду, а проста запісалі арабскімі буквамі і сталі называть лінію сінуса «джыба». У [[арабская мова|арабскай мове]] кароткія галосныя не абазначаюцца, акрамя таго, доўгае «і» ў слове «джыба» абазначаецца гэтак жа, як і паўгалоснае «й». У выніку, арабы сталі вымаўляць назву лініі сінуса як «джайб», што літаральна значыць «упадзіна», «пазуха». Пры перакладзе арабскіх твораў на [[латынь]] еўрапейскія перакладчыкі пераклалі слова «джайб» лацінскім словам sinus, якое мае тое ж значэнне.

Сучасныя кароткія абазначэнні {{math|sin}} і {{math|cos}} уведзены [[Уільям Оўтрэд|Уільямам Оўтрэдам]] і замацаваны ў працах [[Леанард Эйлер|Эйлера]].

Тэрміны «тангенс» (ад {{lang-la|tangens}} — датычны) і «секанс» ({{lang-la|secans}} — сякучы) былі ўведзены дацкім матэматыкам [[Томас Фінке|Томасам Фінке]] (1561—1656) у яго кнізе «Геаметрыя круглага» (Geometria rotundi, 1583).

Сам тэрмін ''трыганаметрычныя функцыі'' ўведзен [[Георг Сіман Клюгель|Клюгелем]] у 1770 годзе.

== Гл. таксама ==
{{Вікітэка|:ru:Таблицы интегралов и другие математические функции (Герберт Бристоль Двайт)/Тригонометрические функции|Таблицы интегралов и другие математические функции}}

* [[Адваротныя трыганаметрычныя функцыі]]
* [[Гіпербалічныя функцыі]]
* [[Эліптычныя функцыі]]
* [[Інтэгральны сінус]]
* [[Інтэгральны косінус]]
* [[Рашэнне трохвугольнікаў]]
* [[Сінус-верзус]]
* [[Сферычная трыганаметрыя]]
* [[Функцыя Гудэрмана]]
* [[Чатырохзначныя матэматычныя табліцы]] ([[Табліцы Брадзіса]])

== Літаратура ==
* {{кніга|аўтар=Бронштейн&nbsp;И.&nbsp;Н., Семендяев&nbsp;К.&nbsp;А.|частка=Прямолинейная тригонометрия|загаловак=Справочник по математике|месца=М.|выдавецтва=Государственное издательство технико-теоретической литературы|год=1967|выданне=Изд. 7-е, стереотипное|старонкі=179—184}}
* {{кніга|аўтар=Двайт Г. Б.|частка=Тригонометрические функции|загаловак=Таблицы интегралов и другие математические формулы|выданне=4-е изд|месца=М.|выдавецтва=Наука|год=1973|старонкі=70—102}}
* Maor, Eli, ''Trigonometric Delights'', Princeton Univ. Press. (1998). Reprint edition (February 25, 2002): ISBN 0-691-09541-8.
* {{крыніцы/БелЭн|15|Та́нгенс||417}}
* {{ВСЭ3|Тригонометри́ческие фу́нкции|том=26|старонкі=204—206}}

== Спасылкі ==
* {{MathWorld|TrigonometricFunctions|Трыганаметрычныя функцыі}}
* [http://planetcalc.ru/307/ Анлайн калькулятар: вылічэнне значэнняў трыганаметрычных функцый]
* [http://live.mephist.ru/show/unit-circle/ Інтэрактыўная карта значэнняў трыганаметрычных функцый] {{Архівавана|url=https://web.archive.org/web/20190807190538/http://live.mephist.ru/show/unit-circle/ |date=7 жніўня 2019 }}
{{Бібліяінфармацыя}}
[[Катэгорыя:Трыганаметрыя]]
[[Катэгорыя:Элементарныя функцыі]]