Прагляд зыходнага тэксту старонкі Тэарэма Беры — Эсеена

У [[тэорыя імавернасцей|тэорыі імавернасцей]] [[цэнтральная лімітавая тэарэма]] сцвярджае, што пры пэўных умовах [[размеркаванне імавернасцей]] [[выбарачнае сярэдняе|сярэдняга значэння выпадковай выбаркі]] {{нп3|збежнасць выпадковых велічынь|збягаецца|en|Convergence of random variables}} к [[нармальнае размеркаванне|нармальнаму размеркаванню]] пры нарастанні аб'ёму выбаркі да бесканечнасці. Пры больш моцных дапушчэннях, '''тэарэма Беры — Эсеена''' (або '''няроўнасць Беры — Эсеена''') колькасна ацэньвае скорасць, з якою гэта збежнасць адбываецца, даючы ацэнку найбольшай пагрэшнасці [[тэорыя прыбліжэнняў|прыбліжэння]] сапраўднага размеркавання нармальным. Прыбліжэнне ацэньваецца па [[адлегласць Калмагорава — Смірнова|адлегласці Калмагорава — Смірнова]]. У выпадку [[незалежнасць, тэорыя імавернасцей|незалежных выбарак]] скорасць збежнасці мае парадак {{math|''n''<sup>−1/2</sup>}}, дзе {{math|''n''}} — аб'ём выбаркі, а пастаянная ацэньваецца праз [[каэфіцыент асіметрыі|трэція]] абсалютныя [[моманты выпадковай велічыні|нарміраваныя моманты]].

== Сцвярджэнне тэарэмы ==
Фармулёўкі тэарэмы могуць адрознівацца, бо яна была адкрыта незалежна двума матэматыкамі: [[Эндру Беры, матэматык|Эндру Беры]] (у 1941) і {{нп3|Карл-Густаў Эсеен|Карлам-Густавам Эсеенам|en|Carl-Gustav Esseen}} (1942), які затым, разам з іншымі аўтарамі, некалькі разоў паляпшаў тэарэму на працягу наступных дзесяцігоддзяў.

=== Аднолькава размеркаваныя складнікі ===

Адзін з варыянтаў, які ў нечым ахвяруе агульнасцю дзеля яснасці, гучыць наступным чынам:

: Няхай ''X''<sub>1</sub>, ''X''<sub>2</sub>, …, — незалежныя і аднолькава размеркаваныя выпадковыя велічыні з E(''X''<sub>''i''</sub>) = 0, E(''X''{{su|b=''i''|p=2}}) = σ² > 0, і E(|''X''<sub>''i''</sub>|³) = ρ < ∞. Вызначым [[выбарачнае сярэдняе]]:
:: <math>Y_n = \frac{X_1 + X_2 + \cdots + X_n}{n}.</math>
: Няхай ''F''<sub>''n''</sub> ёсць [[функцыя размеркавання]] велічыні
:: <math>{Y_n \sqrt{n} \over {\sigma}},</math>
: а Φ ёсць функцыя [[стандартнае нармальнае размеркаванне|стандартнага нармальнага размеркавання]].
: Тады існуе дадатная [[пастаянная, матэматыка|пастаянная]] ''C'' такая, што для ўсіх ''x'' і ''n'' справядліва няроўнасць
:: <math>\left|F_n(x) - \Phi(x)\right| \le {C \rho \over \sigma^3\,\sqrt{n}}.\ \ \ \ (1)</math>

[[Выява:BerryEsseenTheoremCDFGraphExample.png|thumb|250px|Ілюстрацыя рознасці паміж упамянутымі ў тэарэме функцыямі размеркавання.]]
Гэта значыць: зададзена паслядоўнасць {{нп3|незалежныя аднолькава размеркаваныя выпадковыя велічыні|незалежных аднолькава размеркаваных выпадковых велічынь|en|Independent and identically distributed random variables}} з нулявым [[матэматычнае спадзяванне|спадзяваннем]] і дадатнаю [[дысперсія выпадковай велічыні|дысперсіяй]], і, акрамя таго, з канечным трэцім абсалютным [[моманты выпадковай велічыні|момантам]]. Тады [[функцыя размеркавання|функцыі размеркавання]] ўнармаванага [[выбарачнае сярэдняе|выбарачнага сярэдняга]] і [[стандартнае нармальнае размеркаванне|стандартнай нармальнай велічыні]] адрозніваюцца не больш чым на вызначаную велічыню. Варта заўважыць, што хібнасць прыбліжэння для ўсіх ''n'' абмежавана велічынёю [[О-натацыя|парадку]] ''n''<sup>−1/2</sup>.

На працягу гадоў вылічаныя значэнні пастаяннай ''C'' прыкметна панізіліся са значэння 7.59, атрыманага Эсеенам{{sfn|Esseen|1942}}, да 0.7882, атрыманага ван-Беекам{{sfn|van Beek|1972}}, пасля 0.7655{{sfn|Shiganov|1986}}, тады 0.7056{{sfn|Shevtsova|2007}}, затым 0.7005{{sfn|Shevtsova|2008}}, потым 0.5894{{sfn|Tyurin|2009}}, пазней 0.5129{{sfn|Korolev|Shevtsova|2010a}}, затым 0.4785{{sfn|Tyurin|2010}}. Падрабязны агляд можна знайсці ў артыкулах{{sfn|Korolev|Shevtsova|2010a}}{{sfn|Korolev|Shevtsova|2010b}}. Найлепшая ацэнка на 2012 год, ''C''&nbsp;<&nbsp;0.4748, вынікае з няроўнасці
: <math>\sup_{x\in\mathbb R}\left|F_n(x) - \Phi(x)\right| \le {0.33554 (\rho+0.415\sigma^3)\over \sigma^3\,\sqrt{n}},</math>
даказанай Шаўцовай{{sfn|Shevtsova|2011}}, пры ўліку суадносін σ³&nbsp;≤&nbsp;ρ і 0.33554&nbsp;·&nbsp;1.415&nbsp;<&nbsp;0.4748. Аднак, калі ρ&nbsp;≥&nbsp;1.286σ³, тады ацэнка
: <math>\sup_{x\in\mathbb R}\left|F_n(x) - \Phi(x)\right| \le {0.3328 (\rho+0.429\sigma^3)\over \sigma^3\,\sqrt{n}},</math>
якая таксама даказана Шаўцовай{{sfn|Shevtsova|2011}}, дае яшчэ стражэйшую верхнюю ацэнку.

Эсеен{{sfn|Esseen|1956}} атрымаў ніжнюю мяжу для пастаяннай
: <math> C\geq\frac{\sqrt{10}+3}{6\sqrt{2\pi}} \approx 0.40973 \approx \frac{1}{\sqrt{2\pi}} + 0.01079.</math>

=== Рознаразмеркаваныя складнікі ===

: Няхай ''X''<sub>1</sub>, ''X''<sub>2</sub>, …, — незалежныя выпадковыя велічыні з [[матэматычнае спадзяванне|E]](''X''<sub>i</sub>) = 0, E(''X''<sub>i</sub>²) = σ<sub>i</sub>² > 0, і E(|''X''<sub>i</sub>|³) = ρ<sub>i</sub> < ∞. Таксама няхай
:: <math>S_n = {X_1 + X_2 + \cdots + X_n \over \sqrt{\sigma_1^2+\sigma_2^2+\cdots+\sigma_n^2} }</math>
: унармаваная ''n''-я частковая сума. Абазначым ''F''<sub>''n''</sub> [[функцыю размеркавання]] велічыні ''S''<sub>''n''</sub>, а сімвалам Φ — функцыю [[стандартнае нармальнае размеркаванне|стандартнага нармальнага размеркавання]]. Дзеля зручнасці абазначым
:: <math>\vec{\sigma}=(\sigma_1,...,\sigma_n),\ \vec{\rho}=(\rho_1,...,\rho_n).</math>
: У 1941 [[Эндру Беры]] даказаў, што для ўсіх ''n'' існуе абсалютная пастаянная ''C''<sub>1</sub>, такая што
:: <math>\sup_{x\in\mathbb R}\left|F_n(x) - \Phi(x)\right| \le C_1\cdot\psi_1,\ \ \ \ (2)</math>
: дзе
:: <math>\psi_1=\psi_1\big(\vec{\sigma},\vec{\rho}\big)=\Big({\textstyle\sum\limits_{i=1}^n\sigma_i^2}\Big)^{-1/2}\cdot\max_{1\le
i\le n}\frac{\rho_i}{\sigma_i^2}.</math>

: Незалежна, у 1942 годзе, [[Карл Густаў Эсеен]] даказаў, што для любых ''n'' існуе абсалютная пастаянная ''C''<sub>0</sub>, такая што
:: <math>\sup_{x\in\mathbb R}\left|F_n(x) - \Phi(x)\right| \le C_0\cdot\psi_0, \ \ \ \ (3)</math>
: дзе
:: <math>\psi_0=\psi_0\big(\vec{\sigma},\vec{\rho}\big)=\Big({\textstyle\sum\limits_{i=1}^n\sigma_i^2}\Big)^{-3/2}\cdot\sum\limits_{i=1}^n\rho_i.</math>

Лёгка пераканацца, што ψ<sub>0</sub>≤ψ<sub>1</sub>. Таму няроўнасць (3) прынята называць '''няроўнасцю Беры-Эсеена''', велічыня ψ<sub>0</sub> называецца '''дробам Ляпунова трэцяга парадку'''. Больш таго, у выпадку, калі ўсе складнікі ''X''<sub>1</sub>,… ''X''<sub>n</sub> размеркаваны аднолькава
:: <math>\psi_0=\psi_1=\frac{\rho_1}{\sigma_1^3\sqrt{n}},</math>
ацэнкі з няроўнасцей (1), (2) і (3) супадаюць.

Адносна ''C''<sub>0</sub>, відавочна, ніжняя мяжа, устаноўленая Эсеенам{{sfn|Esseen|1956}}, застаецца ў сіле:
: <math>C_0\geq\frac{\sqrt{10}+3}{6\sqrt{2\pi}} = 0.4097\ldots.</math>

Верхнія межы для ''C''<sub>0</sub> пазней былі паніжаны ад зыходнай ацэнкі 7.59 Эсеена{{sfn|Esseen|1942}} да (тут пералічваюцца толькі нядаўнія вынікі) 0.9051 Залатарова{{sfn|Zolotarev|1967}}, 0.7975 ван-Беека{{sfn|van Beek|1972}}, 0.7915 Шыганава{{sfn|Shiganov|1986}}, 0.6379 і 0.5606 Цюрына{{sfn|Tyurin|2009}}{{sfn|Tyurin|2010}}. На 2011 год найлепшая ацэнка 0.5600 атрымана Шаўцовай{{sfn|Shevtsova|2010}}.

== Гл. таксама ==
* [[Цэнтральная гранічная тэарэма]]
* {{нп3|Няроўнасць Чарнова||en|Chernoff bound}}
* {{нп3|Рад Эджворта||en|Edgeworth series}}

== Крыніцы ==
{{reflist}}

== Літаратура ==
{{refbegin}}
* {{cite journal| first=Andrew C. | last=Berry | year=1941
  | title=The Accuracy of the Gaussian Approximation to the Sum of Independent Variates
  | journal=Transactions of the American Mathematical Society
  | volume=49 | issue=1 | pages=122–136 | jstor=1990053| doi=10.1090/S0002-9947-1941-0003498-3
  }}
* Durrett, Richard (1991). ''Probability: Theory and Examples''. Pacific Grove, CA: Wadsworth & Brooks/Cole. ISBN 0-534-13206-5.
* {{cite journal
  | last = Esseen | first = Carl-Gustav
  | title = On the Liapunoff limit of error in the theory of probability
  | year = 1942
  | journal = Arkiv för matematik, astronomi och fysik | issn = 0365-4133
  | volume = A28
  | pages = 1–19
  }}
* {{cite journal
  | last = Esseen | first = Carl-Gustav
  | title = A moment inequality with an application to the central limit theorem
  | year = 1956
  | journal = Skand. Aktuarietidskr.
  | volume = 39
  | pages = 160–170
  }}
* Feller, William (1972). ''An Introduction to Probability Theory and Its Applications, Volume II'' (2nd ed.). New York: John Wiley & Sons. ISBN 0-471-25709-5.
* {{cite journal
  | last1 = Korolev | first1 = V. Yu. | last2 = Shevtsova | first2 = I. G.
  | title = On the upper bound for the absolute constant in the Berry–Esseen inequality
  | year = 2010a
  | journal = Theory of Probability and its Applications 
  | volume = 54 | issue = 4
  | pages = 638–658
  | doi = 10.1137/S0040585X97984449
  }}
* {{cite journal
  | last1 = Korolev | first1 = Victor | last2 = Shevtsova | first2 = Irina
  | title = An improvement of the Berry–Esseen inequality with applications to Poisson and mixed Poisson random sums
  | year = 2010b
  | journal = Scandinavian Actuarial Journal
  | doi= 10.1080/03461238.2010.485370 | pages=1–25
  | url= http://www.tandfonline.com/doi/abs/10.1080/03461238.2010.485370
  }}
* Manoukian, Edward B. (1986). ''Modern Concepts and Theorems of Mathematical Statistics''. New York: Springer-Verlag. ISBN 0-387-96186-0.
* Serfling, Robert J. (1980). ''Approximation Theorems of Mathematical Statistics''. New York: John Wiley & Sons. ISBN 0-471-02403-1.
* {{cite journal
  | last = Shevtsova | first = I. G.
  | title = On the absolute constant in the Berry–Esseen inequality
  | year = 2008
  | journal = The Collection of Papers of Young Scientists of the Faculty of Computational Mathematics and Cybernetics 
  | issue = 5
  | pages = 101–110
  }}
* {{cite journal
  | last = Shevtsova | first = I. G.
  | title = Sharpening of the upper bound of the absolute constant in the Berry–Esseen inequality
  | year = 2007
  | journal = Theory of Probability and its Applications 
  | volume = 51 | issue = 3 
  | pages = 549–553
  | doi= 10.1137/S0040585X97982591
  }}
* {{cite journal
  | last = Shevtsova | first = I. G.
  | title = An Improvement of Convergence Rate Estimates in the Lyapunov Theorem
  | year = 2010
  | journal = Doklady Mathematics 
  | volume = 82 | issue = 3 
  | pages = 862–864
  | doi= 10.1134/S1064562410060062
  }}
* {{cite arXiv
  | last = Shevtsova | first = Irina
  | title = On the absolute constants in the Berry Esseen type inequalities for identically distributed summands
  | year = 2011
  | eprint = 1111.6554
  | class = math.PR
  }}
* {{cite journal
  | last = Shiganov | first = I.S.
  | title = Refinement of the upper bound of a constant in the remainder term of the central limit theorem
  | year = 1986
  | journal = Journal of Soviet mathematics 
  | volume = 35
  | pages = 109–115
  | doi=10.1007/BF01121471 | issue=3
  }}
* {{cite journal
  | last = Tyurin | first = I.S.
  | title = On the accuracy of the Gaussian approximation
  | year = 2009
  | journal = Doklady Mathematics 
  | volume = 80 | issue = 3
  | pages = 840–843 | doi=10.1134/S1064562409060155
  }}
* {{cite journal
  | last = Tyurin | first = I.S.
  | title = An improvement of upper estimates of the constants in the Lyapunov theorem
  | year = 2010
  | journal = Russian Mathematical Surveys 
  | volume = 65 | issue = 3(393)
  | pages = 201–202
  }}
* {{cite journal
  | last = van Beek | first = P.
  | title = An application of Fourier methods to the problem of sharpening the Berry–Esseen inequality
  | year = 1972
  | journal = Zeitschrift für Wahrscheinlichkeitstheorie und verwandte Gebiete 
  | volume = 23
  | pages = 187–196
  | doi=10.1007/BF00536558 | issue=3
  }}
* {{cite journal
  | last = Zolotarev | first = V. M.
  | title = A sharpening of the inequality of Berry–Esseen
  | year = 1967
  | journal = Z. Wahrsch. Verw. Geb. 
  | volume = 8
  | pages = 332–342 | doi=10.1007/BF00531598 | issue=4
  }}
{{refend}}

== Спасылкі ==
* {{springerEOM|title=Berry-Esseen inequality|id=p/b015760}}

{{DEFAULTSORT:Беры — Эсеена тэарэма}}
[[Катэгорыя:Тэорыя імавернасцей]]
[[Катэгорыя:Тэарэмы тэорыі імавернасцей і матэматычнай статыстыкі]]
[[Катэгорыя:Імавернасныя няроўнасці]]