Прагляд зыходнага тэксту старонкі Ураўненне Шродзінгера

{{Квантавая механіка}}
'''Ураўне́нне Шро́дзінгера''' — лінейнае [[дыферэнцыяльнае ўраўненне ў частковых вытворных]], якое апісвае змяненне ў прасторы (у агульным выпадку, у [[канфігурацыйная прастора|канфігурацыйнай прасторы]]) і ў часе [[чысты стан|чыстага стану]], заданага [[Хвалевая функцыя|хвалевай функцыяй]], у [[Гамільтанава сістэма|гамільтанавых]] квантавых сістэмах.

Іграе ў [[квантавая механіка|квантавай механіцы]] такую ж важную ролю, як [[ураўненні Гамільтана]] або ўраўненне [[другі закон Ньютана|другога закона Ньютана]] у [[класічная механіка|класічнай механіцы]], або [[ураўненні Максвела|ўраўненні Максвела]] для электрамагнітных хваль.

Сфармулявана [[Эрвін Шродзінгер|Эрвінам Шродзінгерам]] у 1925 годзе, апублікавана ў 1926 годзе. Ураўненне Шродзінгера не выводзіцца, а [[пастулат|пастуліруецца]] метадам аналогіі з класічнай оптыкай, на аснове абагульнення эксперыментальных дадзеных{{sfn|Пригожин|с=74|2006}}.

Ураўненне Шродзінгера апісвае часціцы без [[спін]]а, якія рухаюцца са скарасцямі, шмат меншымі за [[скорасць святла]]. У выпадку хуткіх часціц і часціц са спінам выкарыстоўваюцца яго абагульненні ({{нп5|ураўненне Клейна — Гордана||ru|Уравнение Клейна — Гордона}}, [[ураўненне Паўлі]], [[ураўненне Дзірака]] і інш.)

== Гісторыя ==
У пачатку XX ст. навукоўцы прыйшлі да высновы, што паміж прадказаннямі класічнай тэорыі і эксперыментальнымі дадзенымі аб атамнай структуры існуе шэраг разыходжанняў. Адкрыццё ўраўнення Шродзінгера адбылося ўслед за рэвалюцыйнай здагадкай [[Луі дэ Бройль|дэ Бройля]], што не толькі святло, але і наогул любыя целы (у тым ліку і любыя [[мікрачасціца|мікрачасціцы]]) валодаюць [[карпускулярна-хвалевы дуалізм|хвалевымі ўласцівасцямі]].

Гістарычна канчатковай фармулёўцы ўраўнення Шродзінгера папярэднічаў працяглы перыяд развіцця [[фізіка|фізікі]].

Само ўраўненне сфармулявана [[Эрвін Шродзінгер|Эрвінам Шродзінгерам]] у 1925 годзе, апублікавана ў 1926 годзе.

== Агляд ==

=== Залежнае ад часу ўраўненне ===
Найбольш агульная форма ўраўнення Шродзінгера — гэта форма, якая ўключае залежнасць ад часу{{sfn|Shankar|p=143|1994}}{{sfn|Ширков|с=24|1980}}:

{{Equation box 1|cellpadding
|border
|indent=:|title='''Залежнае ад часу ўраўненне Шродзінгера''' (''агульны выпадак'')|equation=<math>i \hbar \frac{\partial}{\partial t}\Psi = \hat H \Psi, </math>|border colour=#50C878|background colour=#ECFCF4}}
дзе {{math|''i''}} — [[уяўная адзінка]]; {{math|''ħ''}} — [[пастаянная Дзірака|прыведзеная пастаянная Планка]], роўная <math>\hbar = \frac{h}{2 \pi}</math>; сімвал {{math|{{sfrac|∂|∂''t''}}}} абазначае [[частковая вытворная|частковую вытворную]] па [[час]]у {{math|''t''}}; {{math|Ψ}} — [[хвалевая функцыя]] квантавай сістэмы; {{math|''Ĥ''}} — {{нп5|Гамільтаніян (квантавая механіка)|гамільтаніян|ru|Гамильтониан (квантовая механика)}} (які характарызуе поўную энергію сістэмы).

Прыклад нерэлятывісцкага ўраўнення Шродзінгера ў каардынатным прадстаўленні для кропкавай часціцы масы {{math|''m''}}, якая рухаецца ў патэнцыяльным полі з патэнцыялам <math> V(\vec{r} ,t) </math>:

{{Equation box 1|cellpadding
|border
|indent=:|title='''Залежнае ад часу ўраўненне Шродзінгера''' (''для адзіночнай нерэлятывісцкай часціцы'')|equation=<math>i\hbar\frac{\partial}{\partial t} \Psi(\vec{r} ,t) = \left [ -\frac{\hbar^2}{2m}\nabla^2 + V(\vec{r},t)\right ] \Psi(\vec{r} ,t).</math>|border colour=#0073CF|background colour=#F5FFFA}}

У апошнім ураўненні гамільтаніян <math>\hat{H} = -\frac{\hbar^2}{2m}\nabla^2 + V(\vec{r},t)</math>. Сімвалам {{math|∇<sup>2</sup>}} абазначаны [[лапласіян]] (дыферэнцыяльны аператар).

=== Стацыянарнае ўраўненне ===
Нестацыянарнае (залежнае ад часу) ураўненне Шродзінгера, апісанае вышэй, прадказвае, што хвалевыя функцыі могуць утвараць [[стаячая хваля|стаячыя хвалі]], якія называюцца {{нп5|стацыянарны стан (квантавая механіка)|стацыянарнымі станамі|en|stationary state}} (таксама называюцца «арбіталямі», як [[атамная арбіталь|атамныя]] і {{нп5|малекулярная арбіталь|малекулярныя арбіталі|en|molecular orbital}}). Гэтыя станы асабліва важныя, бо іх асобнае вывучэнне спрашчае пазней задачу рашэння нестацыянарнага ўраўнення Шродзінгера для ''любога'' стану. Стацыянарныя станы можна таксама апісаць больш простай формай ураўнення Шродзінгера, т.зв. ''стацыянарным ураўненнем Шродзінгера''{{sfn|Ширков|с=22|1980}}.

{{Equation box 1
|indent=:
|title='''Стацыянарнае ўраўненне Шродзінгера''' (''агульнае'')
|equation=<math>\hat H \Psi=E \Psi,</math>
|cellpadding
|border
|border colour = #50C878
|background colour = #ECFCF4}}

дзе ''{{math|E}}'' — пастаянная, роўная поўнай энергіі сістэмы.

Гэта ўраўненне выкарыстоўваецца толькі, калі {{нп5|гамільтаніян (квантавая механіка)|гамільтаніян|en|Hamiltonian (quantum mechanics)}} сам не залежыць яўна ад часу. Аднак, нават у гэтым выпадку поўная хвалевая функцыя ўсё яшчэ залежыць ад часу.

Словамі ўраўненне можна сфармуляваць так:
:: ''Калі Гамільтанаў аператар дзейнічае на некаторую хвалевую функцыю'' {{math|&Psi;}}, ''і вынік прапарцыянальны гэта жа хвалевай функцыі'' {{math|&Psi;}}, ''тады'' {{math|&Psi;}} — ''{{нп5|стацыянарны стан (квантавая механіка)|стацыянарны стан|en|stationary state}}, і пастаянная прапарцыянальнасці {{math|E}} ёсць энергія гэтага стану'' {{math|&Psi;}}.
У тэрмінах [[лінейная алгебра|лінейнай алгебры]], гэта ўраўненне з’яўляецца [[уласныя значэнні і ўласныя вектары|характарыстычным ураўненнем]] аператара Гамільтана, і ў гэтым сэнсе хвалевая функцыя з’яўляецца {{нп5|уласная функцыя|ўласнай функцыяй|en|eigenfunction}} аператара Гамільтана.

Як і вышэй, найбольш распаўсюджаны прыклад — нерэлятывісцкае ўраўненне Шродзінгера для адзіночнай часціцы, якая рухаецца ў электрычным полі (але не ў магнітным):

{{Equation box 1
|indent=:
|title='''Стацыянарнае ўраўненне Шродзінгера''' (''для адзіночнай нерэлятывісцкай часціцы'')
|equation=<math>\left[ -\frac{\hbar^2}{2m}\nabla^2 + V(\vec{r}) \right] \Psi(\vec{r}) = E\,\Psi(\vec{r}),</math>
|cellpadding
|border
|border colour = #0073CF
|background colour=#F5FFFA}}

дзе абазначэнні супадаюць з уведзенымі раней.

=== Некаторыя ўласцівасці ===
Паколькі квантавая тэорыя не патрабуе поўнага адмаўлення ад [[Законы Ньютана|законаў Ньютана]], а толькі вызначае межы прымянімасці класічнай фізікі, то ўраўненне Шродзінгера павінна ўзгадняцца з законамі Ньютана ў «гранічным выпадку».

Сярэднія значэнні механічных велічынь для [[хвалевы пакет|хвалевага пакета]], які можна апісаць ураўненнем Шродзінгера, задавальняюць класічным [[ураўненні Гамільтана|ураўненням Гамільтана]] ([[тэарэма Эрэнфеста]]){{sfn|Паули|с=47|1947}}.

Ураўненне Шродзінгера інварыянтнае адносна [[пераўтварэнні Галілея|пераўтварэнняў Галілея]]. З гэтага факта выцякае шэраг важных вынікаў: існаванне рада аператараў квантавай механікі, звязаных з пераўтварэннямі Галілея, немагчымасць апісання станаў са спектрам мас або нестабільныя элементарныя часціцы ў нерэлятывісцкай квантавай механіцы ({{нп5|тэарэма Баргмана||ru|Теорема Баргмана}}), існаванне квантавамеханічных інварыянтаў, спароджаных [[пераўтварэнне Галілея|пераўтварэннем Галілея]]{{sfn|Кемпфер|с=390|1967}}.

Ураўненне Шродзінгера з’яўляецца больш складаным у параўнанні з [[Ураўненні Гамільтана|ураўненнямі Гамільтана]] класічнай механікі. Ураўненні Гамільтана з’яўляюцца сістэмай звычайных [[Дыферэнцыяльнае ўраўненне#Парадак дыферэнцыяльнага ўраўнення|дыферэнцыяльных ураўненняў першага парадку]], а ўраўненне Шродзінгера з’яўляецца [[дыферэнцыяльнае ўраўненне ў частковых вытворных|дыферэнцыяльным ураўненнем ў частковых вытворных]]{{sfn|Широков|с=24|1972}}.

Ураўненне Шродзінгера, як і ўраўненні Гамільтана, з’яўляецца ўраўненнем першага парадку па часе. Яно з’яўляецца матэматычным выразам прынцыпу статыстычнага [[дэтэрмінізм]]у ў квантавай механіцы — дадзены стан сістэмы вызначае яе наступны стан не адназначна, а толькі з пэўнай імавернасцю, заданай пры дапамозе хвалевай функцыі <math>\Psi</math>.

Ураўненне Шродзінгера лінейнае, гэта значыць, калі хвалевыя функцыі <math>\Psi</math> і <math>\Phi</math> задавальняюць ураўненню Шродзінгера, то яму задавальняе любая іх лінейная камбінацыя <math>\alpha \Psi + \beta \Phi</math>, дзе <math>\alpha</math> і <math>\beta</math> — камплексныя лікі{{sfn|Пенроуз|с=234|2003}}. З прычыны гэтага лінейная суперпазіцыя хвалевых функцый не парушаецца ўраўненнем Шродзінгера, і патрэбна аперацыя вымярэння для рэдукцыі хвалевай функцыі. Лінейнасць [[Аператар Шродзінгера|аператара Шродзінгера]] з’яўляецца вынікам і абагульненнем [[прынцып суперпазіцыі|прынцыпу суперпазіцыі]], які важны для карэктнай фармулёўкі паняцця аперацыі вымярэння{{sfn|Паули|с=43|1947}}.

Для ўсіх квантавых сістэм, якія займаюць абмежаваныя вобласці прасторы, рашэнні ўраўнення Шродзінгера існуюць толькі для [[злічальнае мноства|злічальнага мноства]] значэнняў энергіі <math>E_{n}</math> і ўяўляюць сабой злічальнае мноства хвалевых функцый <math>\Psi_{n}</math>, члены якога нумаруюцца наборам квантавых лікаў <math>n</math>.{{sfn|Ширков|с=464|1980}}

=== Абмежаванні прымянімасці ===
Ураўненне Шродзінгера не можа растлумачыць {{нп5|спантаннае выпраменьванне|спантаннага выпраменьвання|ru|Спонтанное излучение}}, бо хвалевая функцыя ўзбуджанага стану з’яўляецца дакладным рашэннем залежнага ад часу ўраўнення Шродзінгера{{sfn|Вигнер|с=67|1961}}{{sfn|Мигдал|с=49|1966}}.

Ураўненне Шродзінгера не можа апісваць працэс {{нп5|вымярэнне (квантавая механіка)|вымярэння|ru|Измерение (квантовая механика)}} ў квантавай механіцы, бо яно лінейнае, дэтэрміністычнае і абарачальнае ў часе, а працэс вымярэння нелінейны, [[Выпадковы працэс|стахастычны]] і неабарачальны ў часе{{sfn|Вигнер|с=145|2002}}.

Паводле {{нп5|тэарэма Баргмана|тэарэмы Баргмана|ru|Теорема Баргмана}}, у нерэлятывісцкай квантавай механіцы нельга апісваць станы са спектрам мас ці нестабільныя элементарныя часціцы{{sfn|Кемпфер|с=385|1967}}.

== Фармулёўка ==

=== Агульны выпадак ===
У [[Квантавая фізіка|квантавай фізіцы]] ўводзіцца [[камплексны лік|камплексназначная функцыя]] <math>\Psi</math>, якая апісвае чысты стан аб’екта і называецца [[хвалевая функцыя|хвалевай функцыяй]]. У найбольш распаўсюджанай [[капенгагенская інтэрпрэтацыя|капенгагенскай інтэрпрэтацыі]] гэтая функцыя звязана з [[імавернасць|імавернасцю]] выяўлення аб’екта ў адным з чыстых станаў (квадрат модуля хвалевай функцыі ўяўляе сабой [[шчыльнасць імавернасці]]){{sfn|Ландау|с=19—20|2004}}{{sfn|Фок|с=89—90|1976}}{{sfn|Ширков|с=17|1980}}. Паводзіны гамільтанавай сістэмы ў чыстым стане поўнасцю апісваюцца з дапамогай хвалевай функцыі.

Адмовіўшыся ад апісання руху часціцы з дапамогай траекторый, якія атрымліваюцца з законаў [[Дынаміка (фізіка)|дынамікі]], і вызначыўшы замест гэтага хвалевую функцыю, неабходна ўвесці ў разгляд ураўненне, якое эквівалентнае законам Ньютана і дае рэцэпт для знаходжання <math>\Psi </math> у розных фізічных задачах. Такім ураўненнем з’яўляецца ўраўненне Шродзінгера.

Няхай ёсць сістэма {{math|''n''}} нерэлятывісцкіх часціц, і {{math|''j''}}-я часціца з масай {{math|''m{{su|b=j}}''}} размешчана ў пункце, які зададзены радыусам-вектарам <math>\vec{r}_j</math>.

Аператар Гамільтана для такой сістэмы часціц мае выгляд{{sfn|Ландау|с=75|2004}}:
: <math>\hat H = -\frac{\hbar^2}{2} \sum_{j=1}^n \frac{1}{m_j} \nabla_j^2 + V(\vec{r}_1, \vec{r}_2, \dots, t),</math>

дзе
: <math> \hbar = \frac{h}{2\pi}</math> — прыведзеная пастаянная Планка ([[пастаянная Дзірака]]); тут <math>h</math> — [[пастаянная Планка]];
: <math>m_j</math> — маса {{math|''j''}}-й часціцы;
: <math>V(\vec{r}_1, \vec{r}_2, \dots, t) </math> — поўная [[патэнцыяльная энергія]] сістэмы часціц з радыусамі-вектарамі <math>\vec{r}_1, \vec{r}_2, \dots</math> у момант часу <math>t</math>;
: <math>\nabla_j^2 </math> — [[аператар Лапласа]] (ці лапласіян), у якім дыферэнцыраванне праводзіцца па каардынатах {{math|''j''}}-й часціцы, і які ў дэкартавых каардынатах выглядае так:
: <math> \nabla_j^2 = \frac{\partial^2}{\partial x_j^2} + \frac{\partial^2}{\partial y_j^2} + \frac{\partial^2}{\partial z_j^2}.</math>

[[Хвалевая функцыя]] сістэмы {{math|''n''}} часціц з’яўляецца функцыяй ад становішча <math>\vec{r}_j</math> кожнай часціцы і ад часу {{math|''t''}}.
Таму хвалевая функцыя бярэцца ў выглядзе <math>\Psi = \Psi(\vec{r}_1, \vec{r}_2, \dots, \vec{r}_n, t) = \Psi(x_1, y_1, z_1; \dots ; x_n, y_n, z_n; t).</math>

Такім чынам, для сістэмы {{math|''n''}} часціц ураўненне Шродзінгера запішацца ў выглядзе{{sfn|Ферми|с=25|1968}}{{sfn|Грибов|с=16|1999}}:

{{Equation box 1|cellpadding
|border
|indent=:
|title='''Нестацыянарнае ўраўненне Шродзінгера''' (''для сістэмы {{math|n}} нерэлятывісцкіх часціц'')
|equation = <math> i \hbar \frac{\partial}{\partial t} \Psi = - \frac{\hbar^2}{2} \sum_{j=1}^n \frac{1}{m_j} \nabla_j^2 \Psi + V\, \Psi, </math>
|border colour=#0073CF
|background colour=#F5FFFA}}

дзе {{math|''V''}} — поўная патэнцыяльная энергія сістэмы часціц, якая складаецца з асобных патэнцыяльных энергій узаемадзеяння часціц са знешнім полем і між сабою{{sfn|Ширков|с=38-39|1980}}:
: <math>V=V(\vec{r}_1, \vec{r}_2, \dots, \vec{r}_n, t) = \sum_{j=1}^n V_j(\vec{r}_j, t) + \sum_{1\le k < j\le n} V_{kj}(\vec{r}_k,\vec{r}_j).</math>

; Нестацыянарнае ўраўненне для адзіночнай часціцы
У выпадку адзіночнай часціцы ў [[трохмерная прастора|трохмернай прасторы]] {{math|&Psi;}}-функцыя з’яўляецца функцыяй трох прасторавых каардынат і часу.
У дэкартавай сістэме каардынат дзеянне [[аператар Лапласа|аператара Лапласа]] на функцыю {{math|&Psi;{{=}}&Psi;(''x, y, z, t'')}} выглядае наступным чынам
: <math>\nabla^2 \Psi = \frac{\partial^2 \Psi}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 \Psi}{\partial y^2} + \frac{\partial^2 \Psi}{\partial z^2}.</math>

У выніку, ураўненне Шродзінгера для адной часціцы ў дэкартавых каардынатах прыме выгляд:
: <math> - \frac{\hbar^2}{2 m} \left( \frac{\partial^2 \Psi}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 \Psi}{\partial y^2} + \frac{\partial^2 \Psi}{\partial z^2} \right) + V(x, y, z, t) \Psi = i \hbar \frac{\partial \Psi}{\partial t}, </math>

дзе <math> \hbar = \frac{h}{2 \pi} </math>, <math>h </math> — [[пастаянная Планка]]; <math>m</math> — маса часціцы, <math>V(x, y, z, t)</math> — патэнцыяльная энергія часціцы ў кропцы <math>(x, y, z)</math> у момант часу {{math|''t''}}.

=== Стацыянарнае ўраўненне Шродзінгера ===
Час уваходзіць ва ўраўненне Шродзінгера толькі праз першую вытворную па часе і праз магчымую залежнасць патэнцыялу знешняга поля ад часу. Калі знешняе поле, якое дзейнічае на часціцы сістэмы, можна лічыць пастаянным у часе, то рашэнне ўраўнення Шродзінгера павінна быць нескладанай функцыяй адносна часавай пераменнай {{math|''t''}}.
Форма ўраўнення Шродзінгера паказвае, што адносна часу яго рашэнне павінна быць простым, паколькі час уваходзіць у гэта ўраўненне толькі праз першую вытворную ў правай частцы.

Сапраўды, можна паказаць, што {{нп5|асобнае рашэнне дыферэнцыяльнага ўраўнення|асобнае рашэнне|ru|Частное решение дифференциального уравнения}} ў выпадку, калі <math>V=V(\vec{r}_1, \vec{r}_2, \dots, \vec{r}_n)</math> не з’яўляецца функцыяй часу, можна запісаць у выглядзе:

: <math>\Psi(\vec{r}_1, \vec{r}_2, \dots, \vec{r}_n, t) = \psi(\vec{r}_1, \vec{r}_2, \dots, \vec{r}_n)\, e^{ - i E t / \hbar},</math>

дзе функцыя <math>\psi=\psi(\vec{r}_1, \vec{r}_2, \dots, \vec{r}_n)</math> для сістэмы {{math|''n''}} нерэлятывісцкіх часціц (з масамі {{math|''m<sub>j</sub>''}}) павінна задавальняць ураўненню{{sfn|Ферми|с=25|1968}}{{sfn|Грибов|с=17|1999}}:

{{Equation box 1|cellpadding
|border
|indent=:
|title='''Стацыянарнае ўраўненне Шродзінгера''' (''для сістэмы {{math|n}} нерэлятывісцкіх часціц'')
|equation = <math>- \frac{\hbar^2}{2} \sum_{j=1}^n \frac{1}{m_j} \nabla_j^2 \psi + V\,\psi = E\,\psi,</math>
|border colour=#0073CF
|background colour=#F5FFFA}}

якое атрымліваецца з нестацыянарнага ўраўнення Шродзінгера пры падстаноўцы ў яго названага вышэй асобнага рашэння для <math>\Psi</math>. Заўважым, што апошняе ўраўненне наогул не ўтрымлівае часу; у сувязі з гэтым яно называецца ''стацыянарным ураўненнем Шродзінгера'' (г.зн. ''ураўненне Шродзінгера, якое не змяшчае часу'').

; Стацыянарнае ўраўненне для адзіночнай часціцы

Для адзіночнай часціцы (з масай {{math|''m''}}) хвалевая функцыя <math>\psi=\psi(\vec{r})</math> павінна задавальняць ураўненню:
: <math>- {{\hbar}^2 \over 2 m } \nabla^2 \psi + V \psi = E \psi,</math>
якое ў дэкартавых каардынатах прынімае выгляд
: <math> - \frac{\hbar^2}{2 m} \left( \frac{\partial^2 \psi}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 \psi}{\partial y^2} + \frac{\partial^2 \psi}{\partial z^2} \right) + V(x, y, z) \psi = E \psi. </math>

; Агульнае рашэнне для стацыянарнага патэнцыялу
{{Гл. таксама|Хвалевая функцыя}}

Няхай функцыя патэнцыяльнай энергіі {{math|''V''}} не залежыць ад часу.
Няхай <math>\psi_E=\psi_E(\vec{r}_1, \vec{r}_2, \dots, \vec{r}_n)</math> ёсць рашэнне стацыянарнага ўраўнення Шродзінгера для значэння {{math|''E''}}. Тады функцыя
: <math>\Psi_E = \Psi_E(\vec{r}_1, \vec{r}_2, \dots, \vec{r}_n, t)=\psi_E\, e^{ - i E t / \hbar}</math>
з’яўляецца [[Асобнае рашэнне дыферэнцыяльнага ўраўнення|асобным рашэннем]] часавага (нестацыянарнага) ураўнення Шродзінгера і апісвае стан з дакладна вызначанай поўнай энергіяй {{math|''E''}}.

Агульнае рашэнне ўяўляе сабой {{нп5|лінейная камбінацыя|лінейную камбінацыю|ru|Линейная комбинация}} ўсіх асобных рашэнняў {{math|&Psi;{{su|b=''E''}}}}:{{sfn|Ферми|с=67|1968}}{{sfn|Фок|с=99|1976}}
: <math>\Psi(\vec{r}_1, \vec{r}_2, \dots, \vec{r}_n, t) = \sum_E c_E \Psi_E = \sum_E c_E\,\psi_E(\vec{r}_1, \vec{r}_2, \dots, \vec{r}_n)\, e^{ - i E t / \hbar},</math>
дзе сума бярэцца па ўсіх значэннях {{math|''E''}}, для якіх існуе фізічна дапушчальнае рашэнне {{math|''&psi;<sub>E</sub>''}} стацыянарнага ўраўнення Шродзінгера, а {{math|''c<sub>E</sub>''}} — пастаянныя камплексныя лікі (якія называюцца амплітудамі і вылічаюцца з умоў канкрэтнай задачы).

Фізічны сэнс: агульнае рашэнне апісвае стан з нявызначанай энергіяй{{sfn|Ферми|с=67|1968}}, які з'яўляецца сумессю ({{нп5|квантавая суперпазіцыя|квантавай суперпазіцыяй|ru|Квантовая суперпозиция}}) станаў з энергіямі {{math|''E''}} (для якіх амплітуды {{math|''c<sub>E</sub>'' ≠ 0}}).

=== Ураўненне Шродзінгера ў электрамагнітным полі ===
[[Гамільтаніян (квантавая механіка)|Гамільтаніян]] нерэлятывісцкай бясспінавай часціцы з масай {{math|''m''}} і [[электрычны зарад|зарадам]] {{math|''e''}} ў [[электрамагнітнае поле|электрамагнітным полі]], заданым {{нп5|Патэнцыялы электрамагнітнага поля|патэнцыяламі|ru|Потенциалы электромагнитного поля}} <math>\varphi=\varphi(\vec{r},t)</math> і <math>\mathbf{A}=\mathbf{A}(\vec{r},t)</math>, выглядае так{{sfn|Ландау|с=551|2004}}:
: <math>\hat H = \frac{1}{2m}\left(\hat\mathbf{p}-\frac{e}{c}\mathbf{A}\right)^2 + e\varphi,</math>
дзе <math>\hat\mathbf{p}=-i\hbar\nabla</math> — {{нп5|аператар імпульсу||ru|Оператор импульса}}. Патэнцыял электрычнага поля — скалярны і ўваходзіць як звычайны складнік <math>V=e\varphi</math>.

Адсюль атрымліваецца ''ўраўненне Шродзінгера ў магнітным полі'', якое апісвае такую часціцу:
: <math>i\hbar\frac{\partial}{\partial t}\Psi = \left[ \frac{1}{2m}\left(\hat\mathbf{p}-\frac{e}{c}\mathbf{A}\right)^2 + e\varphi \right] \Psi.</math>

Гэта ўраўненне і выраз для гамільтаніяна запісаныя ў [[СГС|Гаусавай сістэме адзінак]]. У сістэме [[Міжнародная сістэма адзінак|СІ]] каэфіцыент пры <math>\mathbf{A}</math> роўны не <math>\tfrac{e}{c}</math>, а <math>e</math>.

== Метады рашэння ўраўнення Шродзінгера ==
* Аналітычны метад. Рашэнне шукаецца ў выглядзе дакладнага матэматычнага выразу. Гэты метад прыдатны толькі ў нешматлікіх найпрасцейшых выпадках ({{нп5|вадародападобны атам|аднаэлектронныя атамы|ru|Водородоподобный атом}}, [[квантавы гарманічны асцылятар|лінейны асцылятар]], патэнцыяльная яма з бесканечна высокімі сценкамі і пад.){{sfn|Ферми|с=28|1968}}.
* {{нп5|Тэорыя ўзбурэнняў|Метад узбурэнняў|ru|Теория возмущений}}. Аператар Гамільтана разглядаецца як сума двух складнікаў. Адзін з іх разглядаецца як няўзбураны аператар, які мае дакладнае аналітычнае рашэнне. Другі складнік разглядаецца як малая ўзбураючая дабаўка да яго. Пры стацыянарным узбурэнні рашэнне заключаецца ў раскладанні ўласных значэнняў і ўласных функцый у рад па ступенях малой пастаяннай узбурэння і ў знаходжанні прыбліжанага рашэння сістэмы атрыманых ураўненняў{{sfn|Ферми|с=191|1968}}. Пры нестацыянарным узбурэнні хвалевая функцыя шукаецца ў выглядзе лінейнай камбінацыі ўласных хвалевых функцый з каэфіцыентамі, якія залежаць ад часу{{sfn|Ферми|с=211|1968}}.
* {{нп5|Метад Рытца||ru|Метод Ритца}}. Прымяняецца для рашэння стацыянарнага ўраўнення Шродзінгера. Вызначаюцца экстрэмальныя значэнні сярэдняй поўнай энергіі сістэмы пры дапамозе вар’іравання параметраў некаторай пробнай функцыі{{sfn|Грибов|с=234|1999}}.
* {{нп5|Метад Хартры — Фока||ru|Метод Хартри — Фока}}.
* {{нп5|Тэорыя функцыянала шчыльнасці||ru|Теория функционала плотности}}.

== Аналогіі і сувязі з іншымі ўраўненнямі ==
[[Ураўненні Максвела]] для электрамагнітных хваль у пустой прасторы
: <math>
\left\{
\begin{aligned}
-c \cdot \operatorname{rot} E &= \frac{\partial H}{\partial t},\\
c \cdot \operatorname{rot} H &= \frac{\partial E}{\partial t}
\end{aligned}
\right.
</math>
можна шляхам увядзення новай [[камплексны лік|камплекснай]] велічыні <math>\Psi = E + iH</math>, якая аналагічная хвалевай функцыі ва ўраўненні Шродзінгера, пераўтварыць у адно ўраўненне
: <math>i \frac{\partial \Psi}{\partial t} = c \cdot \operatorname{rot} \Psi,</math>
падобнае на ўраўненне Шродзiнгера{{sfn|Мотт|с=21|1966}}.

Ураўненне Шродзінгера падобнае з [[ураўненне цеплаправоднасці|ураўненнямі цеплаправоднасці]] і [[ураўненне дыфузіі|дыфузіі]] класічнай фізікі тым, што яно з’яўляецца ўраўненнем першага парадку па часе, і адрозніваецца ад іх наяўнасцю [[уяўная адзінка|ўяўнага]] каэфіцыента перад <math>\frac{\partial \Psi}{\partial t}</math>. Дзякуючы гэтаму множніку яно можа мець і перыядычныя рашэнні{{sfn|Блохинцев|с=115|1963}}.

Ураўненне Шродзінгера можна атрымаць з [[прынцып найменшага дзеяння|прынцыпу найменшага дзеяння]], разглядаючы як {{нп5|ураўненне Эйлера||ru|Уравнение Эйлера}}
: <math>\frac{\partial L}{\partial \psi} - \sum_{k=0}^{3} \frac{\partial}{\partial x_{k}} \frac{\partial L}{\partial \left ( \frac{\partial \psi}{\partial x_{k}} \right )} = 0</math>
некаторай варыяцыйнай задачы, у якой шчыльнасць лагранжыяна мае выгляд{{sfn|Кушниренко|с=38|1971}}:
: <math>L=i \hbar \psi^{*} \frac{\partial \psi}{\partial t} - \frac{\hbar^{2}}{2m} \nabla \psi^{*} \nabla \psi - U(r,t) \psi^{*} \psi - i \hbar \frac{\partial \psi^{*}}{\partial t} \psi.</math>

== Навадныя меркаванні ==
Да ўраўнення Шродзінгера можна прыйсці, абапіраючыся на адпаведнасць паміж [[класічная механіка|класічнай механікай]] і [[геаметрычная оптыка|геаметрычнай оптыкай]]. Паняццям [[матэрыяльны пункт|матэрыяльнага пункта]], [[траекторыя|траекторыі]], [[скорасць|скорасці]], [[патэнцыяльная энергія|патэнцыяльнай энергіі]], [[энергія|энергіі]], варыяцыйнаму {{нп5|прынцып Маперцюі|прынцыпу Маперцюі|ru|Принцип Мопертюи}} ў класічнай
механіцы адпавядаюць паняцці {{нп5|хвалевы пакет|хвалевага пакета|ru|Волновой пакет}}, [[Светлавы прамень|прамяня]], [[групавая скорасць|групавой скорасці]], [[фазавая скорасць|фазавай скорасці]] ([[паказчык пераламлення]]), [[частата ваганняў|частаты]],
варыяцыйнага [[прынцып Ферма|прынцыпу Ферма]] ў геаметрычнай оптыцы{{sfn|Ферми|с=15|1968}}.

Варыяцыйнаму [[прынцып Маперцюі|прынцыпу Маперцюі]] ў класічнай механіцы

: <math>\int \sqrt{E - V}\,ds = \min \qquad </math> (1)

адпавядае варыяцыйны прынцып Ферма ў оптыцы

: <math>\int \frac{ds}{v} = \min. \qquad </math> (2)

Тут <math>E</math> — поўная энергія, <math>V</math> — патэнцыйная энергія, <math>v</math> — фазавая скорасць. Траекторыя у класічнай механіцы адпавядае прамяню святла ў оптыцы, калі

: <math>\frac{1}{v(\omega, x)} = f(\omega)\sqrt{E(\omega)-V(x)}. \qquad </math> (3)

Хвалевы пакет можна прадставіць у выглядзе

: <math>\sum_{\omega} a_{\omega} \cos {2 \pi \omega \left(t - \frac{x}{v(\omega)}\right)}. \qquad </math>

Для максімуму пакета справядліва роўнасць:

: <math>\frac{d}{d \omega}\left\{ \omega \left(t - \frac{x}{v(\omega)}\right) \right\}. </math>

З гэтай роўнасці вынікае, што <math>t = x \frac{d}{d \omega}\left(\frac {\omega}{v}\right)</math>. У класічнай механіцы гэтаму адпавядае роўнасць <math>t=\frac{x}{V_{g}}</math>. З гэтых двух выразаў атрымліваецца формула для групавой скорасці{{sfn|Ферми|с=17|1968}}:

: <math>V_{g}=\left [ \frac{d}{d \omega}\left(\frac{\omega}{v}\right) \right ]^{-1}. \qquad </math> (4)

Тады ўмову роўнасці скорасці матэрыяльнай кропкі і групавой скорасці хвалевага пакета можна запісаць у выглядзе{{sfn|Ферми|с=19|1968}}:

: <math>\frac{d}{d \omega}\left(\frac{\omega}{v}\right) = \sqrt{\frac{m}{2}}\frac{1}{\sqrt{E(\omega)-V(\omega)}}. \qquad </math> (5)

Адсюль, скарыстаўшы (3), атрымліваем:
: <math> \sqrt{\frac{m}{2}}\frac{1}{\sqrt{E-V}} = \frac{d}{d \omega} \left \{ \omega f(\omega) \sqrt{E-V}\right \} = \frac{d (\omega f(\omega))}{d \omega} \sqrt{E-V} + \frac{\omega f(\omega)}{2 \sqrt{E-V}}\frac{dE}{d \omega}.</math>

Параўноўваючы каэфіцыенты пры аднолькавых ступенях <math>\sqrt{E-V}</math>, знаходзім:
: <math>\frac{d}{d \omega}(\omega f(\omega)) = 0,
\qquad
\sqrt{\frac{m}{2}} = \frac{\omega f(\omega)}{2}\frac{dE}{d\omega}.</math>
Першае з іх дае <math>\omega f(\omega) = \mathrm{const}</math>, тады з другога вынікае
: <math>\frac{dE}{d\omega} = \mathrm{const}, \qquad
E=\hbar \omega, \qquad
f(\omega)=\frac{\sqrt{2m}}{\hbar \omega}.</math>
Фазавая скорасць хвалі <math>v</math> залежыць ад частаты <math>\omega</math>:

: <math>v=\frac{\hbar \omega}{\sqrt{2m}}\frac{1}{\sqrt{\hbar \omega - V}}. \qquad </math> (6)

Монахраматычная хваля з фазавай скорасцю <math>v</math> задавальняе ўраўненню

: <math>\nabla^2 \Psi - \frac{1}{v^2} \frac {\partial^2 \Psi}{\partial t^2} = 0. \qquad </math> (7)

Асобнае рашэнне гэтага ўраўнення мае выгляд:

: <math>\Psi = u e^{-i \omega t} = u e^{-\frac{i}{\hbar}Et}, \qquad </math> (8)

дзе <math>\omega</math> — частата хвалі. Падставіўшы рашэнне (8) ва ўраўненне (7), атрымліваем:

: <math>\nabla^2 u + \frac{\omega^2}{v^2} u = 0. \qquad </math> (9)

Падстаўляючы (6) у (9), атрымліваем:

: <math>\nabla^2 u + \frac{2m}{\hbar^2}(\hbar \omega - V) u = 0. \qquad </math> (10)

З ураўнення (8) атрымліваем:

: <math>\omega u = -\frac{1}{i}\frac{\partial \Psi}{\partial t}. \qquad </math> (11)

Падстаўляючы (11) у (10), атрымліваем залежнае ад часу ўраўненне Шродзінгера (12){{sfn|Ферми|с=21|1968}}:

: <math>i\hbar\frac{\partial}{\partial t} \Psi = \left [ -\frac{\hbar^2}{2m}\nabla^2 + V\right ] \Psi. \qquad </math> (12)

== Абагульненні ==
* [[Ураўненне Дзірака]]
* [[Ураўненне Паўлі]]
* {{нп5|Ураўненне Шродзінгера — Ньютана||en|Schrödinger–Newton equation}}
* {{нп5|Ураўненне Швінгера — Таманагі||ru|Уравнение Швингера — Томонаги}}

== Гл. таксама ==
* [[Хвалевая функцыя]]
* [[Тэарэма Эрэнфеста]]
* {{нп5|Ураўненне Гейзенберга||ru|Уравнение Гейзенберга}}

== Крыніцы ==
{{reflist}}

== Літаратура ==
* [http://eqworld.ipmnet.ru/ru/library/books/Shredinger1976ru.djvu ''Шрёдингер Э.'' Избранные труды по квантовой механике. М.: Наука, 1976.]
* ''Березин Ф. А., Шубин М. А.'' Уравнение Шредингера. {{М.}}: Изд-во МГУ, 1983. 392 с.
* {{кніга
 | аўтар = Кемпфер Ф.
 | загаловак = Основные положения квантовой механики
 | месца = М.
 | выдавецтва  = Мир
 | год = 1967
 | старонак = 391
 | ref = Кемпфер
 }}
* {{Кніга:Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М.: Квантовая механика|2004|ref=Ландау}}
* {{h|Фок|1976|3=''Фок В. А.'' [http://books.e-heritage.ru/book/10070984 Начала квантовой механики]. — Л.: Кубуч, 1932; 2-е изд. — М.: Наука, 1976.}}
* {{кніга
 | аўтар = [[Вольфганг Паўлі|В. Паули]].
 | загаловак = Общие принципы волновой механики
 | месца = М.
 | выдавецтва  = ОГИЗ
 | год = 1947
 | старонак = 330
 | isbn = 
 | ref = Паули
 }}
* {{кніга
 | аўтар = [[Ілья Раманавіч Прыгожын|Пригожин И.]]
 | загаловак = От существующего к возникающему: время и сложность в физических науках
 | месца = М.
 | выдавецтва  = КомКнига
 | год = 2006
 | старонак = 296
 | isbn = 5-484-00313-X
 | ref = Пригожин
 }}
* {{кніга
 | аўтар = [[Пенроўз, Роджэр|Пенроуз Р.]]
 | загаловак = «[[Новы розум караля|Новый ум короля]]»: о компьютерах, мышлении и законах физики
 | месца = М.
 | выдавецтва  = Едиториал УРСС
 | год = 2003
 | старонак = 384
 | isbn = 5-354-00005-X 
 | ref = Пенроуз
 }}
* {{кніга
 | аўтар = Кушниренко А. Н.
 | загаловак = Введение в квантовую теорию поля
 | месца = М.
 | выдавецтва  = Высшая школа
 | год = 1971
 | старонак = 304
 | isbn =  
 | ref = Кушниренко
 }}
* {{кніга
 | аўтар = [[Шырокаў, Юрый Міхайлавіч|Широков Ю. М.]], [[Юдзін, Мікалай Пракоф'евіч|Юдин Н. П.]]
 | загаловак = Ядерная физика
 | месца = М.
 | выдавецтва  = Наука
 | год = 1972
 | старонак = 670
 | старонкі = 149
 | isbn = 
 | ref = Широков
 }}
* {{кніга
 | аўтар = [[Невіл Франсіс Мот|Мотт Н.]], [[Снедан, Іан|Снеддон И.]]
 | загаловак = Волновая механика и её применения
 | месца = М.
 | выдавецтва  = Наука
 | год = 1966
 | старонак = 428
 | isbn = 
 | ref = Мотт
 }}
* {{кніга
 | аўтар = [[Блахінцаў, Дзмітрый Іванавіч|Блохинцев Д. И.]]
 | загаловак = Основы квантовой механики
 | месца = М.
 | выдавецтва  = Наука
 | год = 1963
 | старонак = 619
 | isbn = 
 | ref = Блохинцев
 }}
* {{кніга
 | аўтар = ред. [[Шыркоў, Дзмітрый Васільевіч|Ширков Д. В.]]
 | загаловак = Физика микромира
 | месца = М.
 | выдавецтва  = Советская энциклопедия
 | год = 1980
 | старонак = 528
 | isbn = 
 | ref = Ширков
 }}
* {{кніга
 | аўтар = [[Юджын Вігнер|Вигнер Е.]]
 | загаловак = Теория групп
 | месца = М.
 | выдавецтва  = ИЛ
 | год = 1961
 | старонак = 444
 | isbn = 
 | ref = Вигнер
 }}
* {{кніга
 | аўтар = [[Аркадзь Бейнусавіч Мігдал|Мигдал А. Б.]], [[Крайноў, Уладзімір Паўлавіч|Крайнов, В. П.]]
 | загаловак = Приближенные методы квантовой механики
 | месца = М.
 | выдавецтва  = Наука
 | год = 1966
 | старонак = 152
 | isbn = 
 | ref = Мигдал
 }}
* {{кніга
 | аўтар = [[Энрыка Фермі|Ферми Э.]]
 | загаловак = Квантовая механика
 | месца = М.
 | выдавецтва  = Мир
 | год = 1968
 | старонак = 367
 | isbn =  
 | ref = Ферми
 }}
* {{кніга
 | аўтар = [[Юджын Вігнер|Вигнер Эуген Пол]]
 | загаловак = Инвариантность и законы сохранения. Этюды о симметрии
 | месца = М.
 | выдавецтва  = Едиториал УРСС
 | год = 2002
 | старонак = 320
 | isbn = 5-354-00191-9 
 | ref = Вигнер
 }}
* {{кніга
 | аўтар = Грибов Л.А., Муштакова С.П.
 | загаловак = Квантовая химия
 | месца = М.
 | выдавецтва  = Гардарики
 | год = 1999
 | старонак = 390
 | isbn = 5-8297-0017-4  
 | ref = Грибов
 }}
* {{cite book
 |last=Shankar |first=R.
 |year=1994
 |title=Principles of Quantum Mechanics
 |url=https://archive.org/details/principlesofquan0000shan_x3c9 |page=
 |edition=2nd
 |publisher=[[Kluwer Academic]]/[[Plenum Publishers]]
 |isbn=978-0-306-44790-7
}}

== Спасылкі ==
* {{З|ФЭ|http://www.femto.com.ua/articles/part_2/4578.html|загаловак=Шрёдингера уравнение}}
* [http://www.phys.spbu.ru/library/studentlectures/chirtzov/lecture02 Сферычна сіметрычныя станы электрона ў атаме вадароду] {{Архівавана|url=https://web.archive.org/web/20150402160852/http://www.phys.spbu.ru/library/studentlectures/chirtzov/lecture02 |date=2 красавіка 2015 }}

{{Бібліяінфармацыя}}

[[Катэгорыя:Квантавая механіка]]
[[Катэгорыя:Фізічныя законы і ўраўненні|Шродзінгера ўраўненне]]
[[Катэгорыя:Дыферэнцыяльныя ўраўненні ў частковых вытворных|Шродзінгера ўраўненне]]