Ураўненне Шродзінгера

Шаблон:Фізічная тэорыя Ураўне́нне Шро́дзінгера — лінейнае дыферэнцыяльнае ўраўненне ў частковых вытворных, якое апісвае змяненне ў прасторы (у агульным выпадку, у канфігурацыйнай прасторы) і ў часе чыстага стану, заданага хвалевай функцыяй, у гамільтанавых квантавых сістэмах.

Іграе ў квантавай механіцы такую ж важную ролю, як ураўненні Гамільтана або ўраўненне другога закона Ньютана у класічнай механіцы, або ўраўненні Максвела для электрамагнітных хваль.

Сфармулявана Эрвінам Шродзінгерам у 1925 годзе, апублікавана ў 1926 годзе. Ураўненне Шродзінгера не выводзіцца, а пастуліруецца метадам аналогіі з класічнай оптыкай, на аснове абагульнення эксперыментальных дадзеныхШаблон:Sfn.

Ураўненне Шродзінгера апісвае часціцы без спіна, якія рухаюцца са скарасцямі, шмат меншымі за скорасць святла. У выпадку хуткіх часціц і часціц са спінам выкарыстоўваюцца яго абагульненні (Шаблон:Нп5, ураўненне Паўлі, ураўненне Дзірака і інш.)

Гісторыя

У пачатку XX ст. навукоўцы прыйшлі да высновы, што паміж прадказаннямі класічнай тэорыі і эксперыментальнымі дадзенымі аб атамнай структуры існуе шэраг разыходжанняў. Адкрыццё ўраўнення Шродзінгера адбылося ўслед за рэвалюцыйнай здагадкай дэ Бройля, што не толькі святло, але і наогул любыя целы (у тым ліку і любыя мікрачасціцы) валодаюць хвалевымі ўласцівасцямі.

Гістарычна канчатковай фармулёўцы ўраўнення Шродзінгера папярэднічаў працяглы перыяд развіцця фізікі.

Само ўраўненне сфармулявана Эрвінам Шродзінгерам у 1925 годзе, апублікавана ў 1926 годзе.

Агляд

Залежнае ад часу ўраўненне

Найбольш агульная форма ўраўнення Шродзінгера — гэта форма, якая ўключае залежнасць ад часуШаблон:SfnШаблон:Sfn:

Шаблон:Equation box 1 дзе Шаблон:Math — уяўная адзінка; Шаблон:Math — прыведзеная пастаянная Планка, роўная $\hslash =\frac{h}{2\pi }$; сімвал Шаблон:Math абазначае частковую вытворную па часу Шаблон:Math; Шаблон:Math — хвалевая функцыя квантавай сістэмы; Шаблон:Math — Шаблон:Нп5 (які характарызуе поўную энергію сістэмы).

Прыклад нерэлятывісцкага ўраўнення Шродзінгера ў каардынатным прадстаўленні для кропкавай часціцы масы Шаблон:Math, якая рухаецца ў патэнцыяльным полі з патэнцыялам $V(\overrightarrow{r},t)$:

У апошнім ураўненні гамільтаніян $\hat{H}=-\frac{{\hslash }^2}{2m}{\mathrm{\nabla }}^2+V(\overrightarrow{r},t)$. Сімвалам Шаблон:Math абазначаны лапласіян (дыферэнцыяльны аператар).

Стацыянарнае ўраўненне

Нестацыянарнае (залежнае ад часу) ураўненне Шродзінгера, апісанае вышэй, прадказвае, што хвалевыя функцыі могуць утвараць стаячыя хвалі, якія называюцца Шаблон:Нп5 (таксама называюцца «арбіталямі», як атамныя і Шаблон:Нп5). Гэтыя станы асабліва важныя, бо іх асобнае вывучэнне спрашчае пазней задачу рашэння нестацыянарнага ўраўнення Шродзінгера для любога стану. Стацыянарныя станы можна таксама апісаць больш простай формай ураўнення Шродзінгера, т.зв. стацыянарным ураўненнем ШродзінгераШаблон:Sfn.

дзе Шаблон:Math — пастаянная, роўная поўнай энергіі сістэмы.

Гэта ўраўненне выкарыстоўваецца толькі, калі Шаблон:Нп5 сам не залежыць яўна ад часу. Аднак, нават у гэтым выпадку поўная хвалевая функцыя ўсё яшчэ залежыць ад часу.

Словамі ўраўненне можна сфармуляваць так:

Калі Гамільтанаў аператар дзейнічае на некаторую хвалевую функцыю Шаблон:Math, і вынік прапарцыянальны гэта жа хвалевай функцыі Шаблон:Math, тады Шаблон:Math — Шаблон:Нп5, і пастаянная прапарцыянальнасці Шаблон:Math ёсць энергія гэтага стану Шаблон:Math.

У тэрмінах лінейнай алгебры, гэта ўраўненне з’яўляецца характарыстычным ураўненнем аператара Гамільтана, і ў гэтым сэнсе хвалевая функцыя з’яўляецца Шаблон:Нп5 аператара Гамільтана.

Як і вышэй, найбольш распаўсюджаны прыклад — нерэлятывісцкае ўраўненне Шродзінгера для адзіночнай часціцы, якая рухаецца ў электрычным полі (але не ў магнітным):

дзе абазначэнні супадаюць з уведзенымі раней.

Некаторыя ўласцівасці

Паколькі квантавая тэорыя не патрабуе поўнага адмаўлення ад законаў Ньютана, а толькі вызначае межы прымянімасці класічнай фізікі, то ўраўненне Шродзінгера павінна ўзгадняцца з законамі Ньютана ў «гранічным выпадку».

Сярэднія значэнні механічных велічынь для хвалевага пакета, які можна апісаць ураўненнем Шродзінгера, задавальняюць класічным ураўненням Гамільтана (тэарэма Эрэнфеста)Шаблон:Sfn.

Ураўненне Шродзінгера інварыянтнае адносна пераўтварэнняў Галілея. З гэтага факта выцякае шэраг важных вынікаў: існаванне рада аператараў квантавай механікі, звязаных з пераўтварэннямі Галілея, немагчымасць апісання станаў са спектрам мас або нестабільныя элементарныя часціцы ў нерэлятывісцкай квантавай механіцы (Шаблон:Нп5), існаванне квантавамеханічных інварыянтаў, спароджаных пераўтварэннем ГалілеяШаблон:Sfn.

Ураўненне Шродзінгера з’яўляецца больш складаным у параўнанні з ураўненнямі Гамільтана класічнай механікі. Ураўненні Гамільтана з’яўляюцца сістэмай звычайных дыферэнцыяльных ураўненняў першага парадку, а ўраўненне Шродзінгера з’яўляецца дыферэнцыяльным ураўненнем ў частковых вытворныхШаблон:Sfn.

Ураўненне Шродзінгера, як і ўраўненні Гамільтана, з’яўляецца ўраўненнем першага парадку па часе. Яно з’яўляецца матэматычным выразам прынцыпу статыстычнага дэтэрмінізму ў квантавай механіцы — дадзены стан сістэмы вызначае яе наступны стан не адназначна, а толькі з пэўнай імавернасцю, заданай пры дапамозе хвалевай функцыі $\mathrm{\Psi }$.

Ураўненне Шродзінгера лінейнае, гэта значыць, калі хвалевыя функцыі $\mathrm{\Psi }$ і $\mathrm{\Phi }$ задавальняюць ураўненню Шродзінгера, то яму задавальняе любая іх лінейная камбінацыя $\alpha \mathrm{\Psi }+\beta \mathrm{\Phi }$, дзе $\alpha$ і $\beta$ — камплексныя лікіШаблон:Sfn. З прычыны гэтага лінейная суперпазіцыя хвалевых функцый не парушаецца ўраўненнем Шродзінгера, і патрэбна аперацыя вымярэння для рэдукцыі хвалевай функцыі. Лінейнасць аператара Шродзінгера з’яўляецца вынікам і абагульненнем прынцыпу суперпазіцыі, які важны для карэктнай фармулёўкі паняцця аперацыі вымярэнняШаблон:Sfn.

Для ўсіх квантавых сістэм, якія займаюць абмежаваныя вобласці прасторы, рашэнні ўраўнення Шродзінгера існуюць толькі для злічальнага мноства значэнняў энергіі $E_n$ і ўяўляюць сабой злічальнае мноства хвалевых функцый ${\mathrm{\Psi }}_n$, члены якога нумаруюцца наборам квантавых лікаў $n$.Шаблон:Sfn

Абмежаванні прымянімасці

Ураўненне Шродзінгера не можа растлумачыць Шаблон:Нп5, бо хвалевая функцыя ўзбуджанага стану з’яўляецца дакладным рашэннем залежнага ад часу ўраўнення ШродзінгераШаблон:SfnШаблон:Sfn.

Ураўненне Шродзінгера не можа апісваць працэс Шаблон:Нп5 ў квантавай механіцы, бо яно лінейнае, дэтэрміністычнае і абарачальнае ў часе, а працэс вымярэння нелінейны, стахастычны і неабарачальны ў часеШаблон:Sfn.

Паводле Шаблон:Нп5, у нерэлятывісцкай квантавай механіцы нельга апісваць станы са спектрам мас ці нестабільныя элементарныя часціцыШаблон:Sfn.

Фармулёўка

Агульны выпадак

У квантавай фізіцы ўводзіцца камплексназначная функцыя $\mathrm{\Psi }$, якая апісвае чысты стан аб’екта і называецца хвалевай функцыяй. У найбольш распаўсюджанай капенгагенскай інтэрпрэтацыі гэтая функцыя звязана з імавернасцю выяўлення аб’екта ў адным з чыстых станаў (квадрат модуля хвалевай функцыі ўяўляе сабой шчыльнасць імавернасці)Шаблон:SfnШаблон:SfnШаблон:Sfn. Паводзіны гамільтанавай сістэмы ў чыстым стане поўнасцю апісваюцца з дапамогай хвалевай функцыі.

Адмовіўшыся ад апісання руху часціцы з дапамогай траекторый, якія атрымліваюцца з законаў дынамікі, і вызначыўшы замест гэтага хвалевую функцыю, неабходна ўвесці ў разгляд ураўненне, якое эквівалентнае законам Ньютана і дае рэцэпт для знаходжання $\mathrm{\Psi }$ у розных фізічных задачах. Такім ураўненнем з’яўляецца ўраўненне Шродзінгера.

Няхай ёсць сістэма Шаблон:Math нерэлятывісцкіх часціц, і Шаблон:Math-я часціца з масай Шаблон:Math размешчана ў пункце, які зададзены радыусам-вектарам ${\overrightarrow{r}}_j$.

Аператар Гамільтана для такой сістэмы часціц мае выглядШаблон:Sfn:

$\hat{H}=-\frac{{\hslash }^2}{2}\sum _{j=1}^n\frac{1}{m_j}\underset{j}{\overset{2}{\mathrm{\nabla }}}+V({\overrightarrow{r}}_1,{\overrightarrow{r}}_2,\dots ,t),$

дзе

$\hslash =\frac{h}{2\pi }$ — прыведзеная пастаянная Планка (пастаянная Дзірака); тут $h$ — пастаянная Планка;

$m_j$ — маса Шаблон:Math-й часціцы;

$V({\overrightarrow{r}}_1,{\overrightarrow{r}}_2,\dots ,t)$ — поўная патэнцыяльная энергія сістэмы часціц з радыусамі-вектарамі ${\overrightarrow{r}}_1,{\overrightarrow{r}}_2,\dots$ у момант часу $t$;

$\underset{j}{\overset{2}{\mathrm{\nabla }}}$ — аператар Лапласа (ці лапласіян), у якім дыферэнцыраванне праводзіцца па каардынатах Шаблон:Math-й часціцы, і які ў дэкартавых каардынатах выглядае так:

$\underset{j}{\overset{2}{\mathrm{\nabla }}}=\frac{{\partial }^2}{\partial x_j^2}+\frac{{\partial }^2}{\partial y_j^2}+\frac{{\partial }^2}{\partial z_j^2}.$

Хвалевая функцыя сістэмы Шаблон:Math часціц з’яўляецца функцыяй ад становішча ${\overrightarrow{r}}_j$ кожнай часціцы і ад часу Шаблон:Math. Таму хвалевая функцыя бярэцца ў выглядзе $\mathrm{\Psi }=\mathrm{\Psi }({\overrightarrow{r}}_1,{\overrightarrow{r}}_2,\dots ,{\overrightarrow{r}}_n,t)=\mathrm{\Psi }(x_1,y_1,z_1;\dots ;x_n,y_n,z_n;t).$

Такім чынам, для сістэмы Шаблон:Math часціц ураўненне Шродзінгера запішацца ў выглядзеШаблон:SfnШаблон:Sfn:

дзе Шаблон:Math — поўная патэнцыяльная энергія сістэмы часціц, якая складаецца з асобных патэнцыяльных энергій узаемадзеяння часціц са знешнім полем і між сабоюШаблон:Sfn:

$V=V({\overrightarrow{r}}_1,{\overrightarrow{r}}_2,\dots ,{\overrightarrow{r}}_n,t)=\sum _{j=1}^n{V}_j({\overrightarrow{r}}_j,t)+\sum _{1\le k<j\le n}{V}_{kj}({\overrightarrow{r}}_k,{\overrightarrow{r}}_j).$

Нестацыянарнае ўраўненне для адзіночнай часціцы

У выпадку адзіночнай часціцы ў трохмернай прасторы Шаблон:Math-функцыя з’яўляецца функцыяй трох прасторавых каардынат і часу. У дэкартавай сістэме каардынат дзеянне аператара Лапласа на функцыю Шаблон:Math выглядае наступным чынам

${\mathrm{\nabla }}^2\mathrm{\Psi }=\frac{{\partial }^2\mathrm{\Psi }}{\partial x^2}+\frac{{\partial }^2\mathrm{\Psi }}{\partial y^2}+\frac{{\partial }^2\mathrm{\Psi }}{\partial z^2}.$

У выніку, ураўненне Шродзінгера для адной часціцы ў дэкартавых каардынатах прыме выгляд:

$-\frac{{\hslash }^2}{2m}(\frac{{\partial }^2\mathrm{\Psi }}{\partial x^2}+\frac{{\partial }^2\mathrm{\Psi }}{\partial y^2}+\frac{{\partial }^2\mathrm{\Psi }}{\partial z^2})+V(x,y,z,t)\mathrm{\Psi }=i\hslash \frac{\partial \mathrm{\Psi }}{\partial t},$

дзе $\hslash =\frac{h}{2\pi }$, $h$ — пастаянная Планка; $m$ — маса часціцы, $V(x,y,z,t)$ — патэнцыяльная энергія часціцы ў кропцы $(x,y,z)$ у момант часу Шаблон:Math.

Стацыянарнае ўраўненне Шродзінгера

Час уваходзіць ва ўраўненне Шродзінгера толькі праз першую вытворную па часе і праз магчымую залежнасць патэнцыялу знешняга поля ад часу. Калі знешняе поле, якое дзейнічае на часціцы сістэмы, можна лічыць пастаянным у часе, то рашэнне ўраўнення Шродзінгера павінна быць нескладанай функцыяй адносна часавай пераменнай Шаблон:Math. Форма ўраўнення Шродзінгера паказвае, што адносна часу яго рашэнне павінна быць простым, паколькі час уваходзіць у гэта ўраўненне толькі праз першую вытворную ў правай частцы.

Сапраўды, можна паказаць, што Шаблон:Нп5 ў выпадку, калі $V=V({\overrightarrow{r}}_1,{\overrightarrow{r}}_2,\dots ,{\overrightarrow{r}}_n)$ не з’яўляецца функцыяй часу, можна запісаць у выглядзе:

$\mathrm{\Psi }({\overrightarrow{r}}_1,{\overrightarrow{r}}_2,\dots ,{\overrightarrow{r}}_n,t)=\psi ({\overrightarrow{r}}_1,{\overrightarrow{r}}_2,\dots ,{\overrightarrow{r}}_n)e^{-iEt/\hslash },$

дзе функцыя $\psi =\psi ({\overrightarrow{r}}_1,{\overrightarrow{r}}_2,\dots ,{\overrightarrow{r}}_n)$ для сістэмы Шаблон:Math нерэлятывісцкіх часціц (з масамі Шаблон:Math) павінна задавальняць ураўненнюШаблон:SfnШаблон:Sfn:

якое атрымліваецца з нестацыянарнага ўраўнення Шродзінгера пры падстаноўцы ў яго названага вышэй асобнага рашэння для $\mathrm{\Psi }$. Заўважым, што апошняе ўраўненне наогул не ўтрымлівае часу; у сувязі з гэтым яно называецца стацыянарным ураўненнем Шродзінгера (г.зн. ураўненне Шродзінгера, якое не змяшчае часу).

Стацыянарнае ўраўненне для адзіночнай часціцы

Для адзіночнай часціцы (з масай Шаблон:Math) хвалевая функцыя $\psi =\psi (\overrightarrow{r})$ павінна задавальняць ураўненню:

$-\frac{{\hslash }^2}{2m}{\mathrm{\nabla }}^2\psi +V\psi =E\psi ,$

якое ў дэкартавых каардынатах прынімае выгляд

$-\frac{{\hslash }^2}{2m}(\frac{{\partial }^2\psi }{\partial x^2}+\frac{{\partial }^2\psi }{\partial y^2}+\frac{{\partial }^2\psi }{\partial z^2})+V(x,y,z)\psi =E\psi .$

Агульнае рашэнне для стацыянарнага патэнцыялу

Няхай функцыя патэнцыяльнай энергіі Шаблон:Math не залежыць ад часу. Няхай ${\psi }_E={\psi }_E({\overrightarrow{r}}_1,{\overrightarrow{r}}_2,\dots ,{\overrightarrow{r}}_n)$ ёсць рашэнне стацыянарнага ўраўнення Шродзінгера для значэння Шаблон:Math. Тады функцыя

${\mathrm{\Psi }}_E={\mathrm{\Psi }}_E({\overrightarrow{r}}_1,{\overrightarrow{r}}_2,\dots ,{\overrightarrow{r}}_n,t)={\psi }_E{e}^{-iEt/\hslash }$

з’яўляецца асобным рашэннем часавага (нестацыянарнага) ураўнення Шродзінгера і апісвае стан з дакладна вызначанай поўнай энергіяй Шаблон:Math.

Агульнае рашэнне ўяўляе сабой Шаблон:Нп5 ўсіх асобных рашэнняў Шаблон:Math:Шаблон:SfnШаблон:Sfn

$\mathrm{\Psi }({\overrightarrow{r}}_1,{\overrightarrow{r}}_2,\dots ,{\overrightarrow{r}}_n,t)=\sum _E{c}_E{\mathrm{\Psi }}_E=\sum _E{c}_E{\psi }_E({\overrightarrow{r}}_1,{\overrightarrow{r}}_2,\dots ,{\overrightarrow{r}}_n)e^{-iEt/\hslash },$

дзе сума бярэцца па ўсіх значэннях Шаблон:Math, для якіх існуе фізічна дапушчальнае рашэнне Шаблон:Math стацыянарнага ўраўнення Шродзінгера, а Шаблон:Math — пастаянныя камплексныя лікі (якія называюцца амплітудамі і вылічаюцца з умоў канкрэтнай задачы).

Фізічны сэнс: агульнае рашэнне апісвае стан з нявызначанай энергіяйШаблон:Sfn, які з'яўляецца сумессю (Шаблон:Нп5) станаў з энергіямі Шаблон:Math (для якіх амплітуды Шаблон:Math).

Ураўненне Шродзінгера ў электрамагнітным полі

Гамільтаніян нерэлятывісцкай бясспінавай часціцы з масай Шаблон:Math і зарадам Шаблон:Math ў электрамагнітным полі, заданым Шаблон:Нп5 $\phi =\phi (\overrightarrow{r},t)$ і $𝐀=𝐀(\overrightarrow{r},t)$, выглядае такШаблон:Sfn:

$\hat{H}=\frac{1}{2m}{(\widehat{𝐩}-\frac{e}{c}𝐀)}^2+e\phi ,$

дзе $\widehat{𝐩}=-i\hslash \mathrm{\nabla }$ — Шаблон:Нп5. Патэнцыял электрычнага поля — скалярны і ўваходзіць як звычайны складнік $V=e\phi$.

Адсюль атрымліваецца ўраўненне Шродзінгера ў магнітным полі, якое апісвае такую часціцу:

$i\hslash \frac{\partial }{\partial t}\mathrm{\Psi }=[\frac{1}{2m}{(\widehat{𝐩}-\frac{e}{c}𝐀)}^2+e\phi ]\mathrm{\Psi }.$

Гэта ўраўненне і выраз для гамільтаніяна запісаныя ў Гаусавай сістэме адзінак. У сістэме СІ каэфіцыент пры $𝐀$ роўны не $\frac{e}{c}$, а $e$.

Метады рашэння ўраўнення Шродзінгера

• Аналітычны метад. Рашэнне шукаецца ў выглядзе дакладнага матэматычнага выразу. Гэты метад прыдатны толькі ў нешматлікіх найпрасцейшых выпадках (Шаблон:Нп5, лінейны асцылятар, патэнцыяльная яма з бесканечна высокімі сценкамі і пад.)Шаблон:Sfn.
• Шаблон:Нп5. Аператар Гамільтана разглядаецца як сума двух складнікаў. Адзін з іх разглядаецца як няўзбураны аператар, які мае дакладнае аналітычнае рашэнне. Другі складнік разглядаецца як малая ўзбураючая дабаўка да яго. Пры стацыянарным узбурэнні рашэнне заключаецца ў раскладанні ўласных значэнняў і ўласных функцый у рад па ступенях малой пастаяннай узбурэння і ў знаходжанні прыбліжанага рашэння сістэмы атрыманых ураўненняўШаблон:Sfn. Пры нестацыянарным узбурэнні хвалевая функцыя шукаецца ў выглядзе лінейнай камбінацыі ўласных хвалевых функцый з каэфіцыентамі, якія залежаць ад часуШаблон:Sfn.
• Шаблон:Нп5. Прымяняецца для рашэння стацыянарнага ўраўнення Шродзінгера. Вызначаюцца экстрэмальныя значэнні сярэдняй поўнай энергіі сістэмы пры дапамозе вар’іравання параметраў некаторай пробнай функцыіШаблон:Sfn.
• Шаблон:Нп5.
• Шаблон:Нп5.

Аналогіі і сувязі з іншымі ўраўненнямі

Ураўненні Максвела для электрамагнітных хваль у пустой прасторы

$\{\begin{array}{cc}-c\cdot \mathrm{rot}E& =\frac{\partial H}{\partial t},\\ c\cdot \mathrm{rot}H& =\frac{\partial E}{\partial t}\end{array}$

можна шляхам увядзення новай камплекснай велічыні $\mathrm{\Psi }=E+iH$, якая аналагічная хвалевай функцыі ва ўраўненні Шродзінгера, пераўтварыць у адно ўраўненне

$i\frac{\partial \mathrm{\Psi }}{\partial t}=c\cdot \mathrm{rot}\mathrm{\Psi },$

падобнае на ўраўненне ШродзiнгераШаблон:Sfn.

Ураўненне Шродзінгера падобнае з ураўненнямі цеплаправоднасці і дыфузіі класічнай фізікі тым, што яно з’яўляецца ўраўненнем першага парадку па часе, і адрозніваецца ад іх наяўнасцю ўяўнага каэфіцыента перад $\frac{\partial \mathrm{\Psi }}{\partial t}$. Дзякуючы гэтаму множніку яно можа мець і перыядычныя рашэнніШаблон:Sfn.

Ураўненне Шродзінгера можна атрымаць з прынцыпу найменшага дзеяння, разглядаючы як Шаблон:Нп5

$\frac{\partial L}{\partial \psi }-\sum _{k=0}^3\frac{\partial }{\partial x_k}\frac{\partial L}{\partial \left(\frac{\partial \psi }{\partial x_k}\right)}=0$

некаторай варыяцыйнай задачы, у якой шчыльнасць лагранжыяна мае выглядШаблон:Sfn:

$L=i\hslash {\psi }^{*}\frac{\partial \psi }{\partial t}-\frac{{\hslash }^2}{2m}\mathrm{\nabla }{\psi }^{*}\mathrm{\nabla }\psi -U(r,t){\psi }^{*}\psi -i\hslash \frac{\partial {\psi }^{*}}{\partial t}\psi .$

Навадныя меркаванні

Да ўраўнення Шродзінгера можна прыйсці, абапіраючыся на адпаведнасць паміж класічнай механікай і геаметрычнай оптыкай. Паняццям матэрыяльнага пункта, траекторыі, скорасці, патэнцыяльнай энергіі, энергіі, варыяцыйнаму Шаблон:Нп5 ў класічнай механіцы адпавядаюць паняцці Шаблон:Нп5, прамяня, групавой скорасці, фазавай скорасці (паказчык пераламлення), частаты, варыяцыйнага прынцыпу Ферма ў геаметрычнай оптыцыШаблон:Sfn.

Варыяцыйнаму прынцыпу Маперцюі ў класічнай механіцы

$\int \sqrt{E-V}ds=\min$ (1)

адпавядае варыяцыйны прынцып Ферма ў оптыцы

$\int \frac{ds}{v}=\min .$ (2)

Тут $E$ — поўная энергія, $V$ — патэнцыйная энергія, $v$ — фазавая скорасць. Траекторыя у класічнай механіцы адпавядае прамяню святла ў оптыцы, калі

$\frac{1}{v(\omega ,x)}=f(\omega )\sqrt{E(\omega )-V(x)}.$ (3)

Хвалевы пакет можна прадставіць у выглядзе

$\sum _{\omega }{a}_{\omega }\cos 2\pi \omega (t-\frac{x}{v(\omega )}).$

Для максімуму пакета справядліва роўнасць:

$\frac{d}{d\omega }\left\{\omega (t-\frac{x}{v(\omega )})\right\}.$

З гэтай роўнасці вынікае, што $t=x\frac{d}{d\omega }\left(\frac{\omega }{v}\right)$. У класічнай механіцы гэтаму адпавядае роўнасць $t=\frac{x}{V_g}$. З гэтых двух выразаў атрымліваецца формула для групавой скорасціШаблон:Sfn:

$V_g={\left[\frac{d}{d\omega }\left(\frac{\omega }{v}\right)\right]}^{-1}.$ (4)

Тады ўмову роўнасці скорасці матэрыяльнай кропкі і групавой скорасці хвалевага пакета можна запісаць у выглядзеШаблон:Sfn:

$\frac{d}{d\omega }\left(\frac{\omega }{v}\right)=\sqrt{\frac{m}{2}}\frac{1}{\sqrt{E(\omega )-V(\omega )}}.$ (5)

Адсюль, скарыстаўшы (3), атрымліваем:

$\sqrt{\frac{m}{2}}\frac{1}{\sqrt{E-V}}=\frac{d}{d\omega }\{\omega f(\omega )\sqrt{E-V}\}=\frac{d(\omega f(\omega ))}{d\omega }\sqrt{E-V}+\frac{\omega f(\omega )}{2\sqrt{E-V}}\frac{dE}{d\omega }.$

Параўноўваючы каэфіцыенты пры аднолькавых ступенях $\sqrt{E-V}$, знаходзім:

$\frac{d}{d\omega }(\omega f(\omega ))=0,\sqrt{\frac{m}{2}}=\frac{\omega f(\omega )}{2}\frac{dE}{d\omega }.$

Першае з іх дае $\omega f(\omega )=\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{n}\mathrm{s}\mathrm{t}$, тады з другога вынікае

$\frac{dE}{d\omega }=\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{n}\mathrm{s}\mathrm{t},E=\hslash \omega ,f(\omega )=\frac{\sqrt{2m}}{\hslash \omega }.$

Фазавая скорасць хвалі $v$ залежыць ад частаты $\omega$:

$v=\frac{\hslash \omega }{\sqrt{2m}}\frac{1}{\sqrt{\hslash \omega -V}}.$ (6)

Монахраматычная хваля з фазавай скорасцю $v$ задавальняе ўраўненню

${\mathrm{\nabla }}^2\mathrm{\Psi }-\frac{1}{v^2}\frac{{\partial }^2\mathrm{\Psi }}{\partial t^2}=0.$ (7)

Асобнае рашэнне гэтага ўраўнення мае выгляд:

$\mathrm{\Psi }=u{e}^{-i\omega t}=u{e}^{-\frac{i}{\hslash }Et},$ (8)

дзе $\omega$ — частата хвалі. Падставіўшы рашэнне (8) ва ўраўненне (7), атрымліваем:

${\mathrm{\nabla }}^{2}u+\frac{{\omega }^2}{v^2}u=0.$ (9)

Падстаўляючы (6) у (9), атрымліваем:

${\mathrm{\nabla }}^{2}u+\frac{2m}{{\hslash }^2}(\hslash \omega -V)u=0.$ (10)

З ураўнення (8) атрымліваем:

$\omega u=-\frac{1}{i}\frac{\partial \mathrm{\Psi }}{\partial t}.$ (11)

Падстаўляючы (11) у (10), атрымліваем залежнае ад часу ўраўненне Шродзінгера (12)Шаблон:Sfn:

$i\hslash \frac{\partial }{\partial t}\mathrm{\Psi }=[-\frac{{\hslash }^2}{2m}{\mathrm{\nabla }}^2+V]\mathrm{\Psi }.$ (12)

Абагульненні

• Ураўненне Дзірака
• Ураўненне Паўлі
• Шаблон:Нп5
• Шаблон:Нп5

Гл. таксама

• Хвалевая функцыя
• Тэарэма Эрэнфеста
• Шаблон:Нп5

Літаратура

• Шрёдингер Э. Избранные труды по квантовой механике. М.: Наука, 1976.
• Березин Ф. А., Шубин М. А. Уравнение Шредингера. Шаблон:М.: Изд-во МГУ, 1983. 392 с.
• Шаблон:Кніга
• Шаблон:Кніга:Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М.: Квантовая механика
• Шаблон:H
• Шаблон:Кніга
• Шаблон:Кніга
• Шаблон:Кніга
• Шаблон:Кніга
• Шаблон:Кніга
• Шаблон:Кніга
• Шаблон:Кніга
• Шаблон:Кніга
• Шаблон:Кніга
• Шаблон:Кніга
• Шаблон:Кніга
• Шаблон:Кніга
• Шаблон:Кніга
• Шаблон:Cite book

Спасылкі

• Шаблон:З
• Сферычна сіметрычныя станы электрона ў атаме вадароду Шаблон:Архівавана