Частковая вытворная

У матэматычным аналізе частковая вытворная — адно з абагульненняў паняцця вытворнай на выпадак функцыі некалькіх зменных.

У яўным выглядзе частковая вытворная функцыі $f$ у пункце $(a_1,a_2,\dots ,a_n)$ вызначаецца наступным чынам:

$\frac{\partial f}{\partial x_k}(a_1,\cdots ,a_n)=\underset{\mathrm{\Delta }x\to 0}{\lim }\frac{f(a_1,\dots ,a_k+\mathrm{\Delta }x,\dots ,a_n)-f(a_1,\dots ,a_k,\dots ,a_n)}{\mathrm{\Delta }x}.$

Графік функцыі Шаблон:Nowrap. Частковая вытворная ў кропцы Шаблон:Nowrap пры пастаянным y адпавядае вуглу нахілу датычнай прамой, паралельнай плоскасці xz.

Сячэнні графіка, намаляванага вышэй, плоскасцю Шаблон:Nowrap

Абазначэнне

Варта звярнуць увагу, што абазначэнне $\frac{\partial f}{\partial x}$ трэба разумець як цэльны сімвал, у адрозненне ад звычайнай вытворнай функцыі адной зменнай $\frac{df}{dx},$ якую можна прадставіць, як адносіну дыферэнцыялаў функцыі і аргумента. Аднак, і частковую вытворную можна прадставіць як адносіну дыферэнцыялаў, але ў гэтым выпадку неабходна абавязкова паказваць, па якой зменнай ажыццяўляецца прырашчэнне функцыі: $\frac{\partial f}{\partial x}=\frac{d_{x}f}{dx},$ дзе Шаблон:Nowrap частковы дыферэнцыял функцыі $f$ па зменнай $x$. Часта неразуменне факта цэльнасці сімвала $\frac{\partial f}{\partial x}$ з'яўляецца прычынай памылак і непаразуменняў, як, напрыклад, скарачэнне $\partial x$ ў выразе $\frac{\partial f}{\partial x}\frac{\partial x}{\partial t}$ .

Геаметрычная інтэрпрэтацыя

Геаметрычна частковая вытворная з'яўляецца вытворнай па напрамку адной з каардынатных восей. Частковая вытворная функцыі $f$ у пункце $\overrightarrow{x}{}^0=(x_1^0,\dots ,x_n^0)$ па каардынаце $x_k$ роўная вытворнай $\frac{\partial f}{\partial \overrightarrow{e}}$ па напрамку $\overrightarrow{e}=\overrightarrow{e}{}^k=(0,\dots ,0,1,0,\dots ,0)$, дзе адзінка стаіць на Шаблон:Math-ым месцы.

Прыклады

Аб’ём конуса залежыць ад вышыні і радыуса асновы

Аб’ём V конуса залежыць ад вышыні h і радыуса r, згодна з формулай

$V=\frac{\pi r^{2}h}{3},$

Частковая вытворная аб’ёму V адносна радыуса r

$\frac{\partial V}{\partial r}=\frac{2\pi rh}{3},$

якая паказвае хуткасць, з якой змяняецца аб’ём конуса, калі яго радыус мяняецца, а яго вышыня застаецца нязменнай. Напрыклад, калі лічыць адзінкі вымярэння аб’ёму $m^3$, а вымярэнні даўжыні $m$, то вышэйназваная вытворная будзе мець размернасць хуткасці змянення аб’ёму $m^3/m$, г.зн. змяненне велічыні радыуса на 1 м будзе адпавядаць змяненню аб’ёму конуса на $\frac{2\pi rh}{3}$ $m^3$.

Частковая вытворная адносна h

$\frac{\partial V}{\partial h}=\frac{\pi r^2}{3},$

якая паказвае хуткасць, з якой змяняецца аб’ём конуса, калі яго вышыня мяняецца, а яго радыус застаецца нязменным.

Поўная вытворная V адносна r і h

$\frac{\mathrm{d}V}{\mathrm{d}r}=\stackrel{\frac{\partial V}{\partial r}}{\overbrace{\frac{2\pi rh}{3}}}+\stackrel{\frac{\partial V}{\partial h}}{\overbrace{\frac{\pi r^2}{3}}}\frac{\mathrm{d}h}{\mathrm{d}r}$

і

$\frac{\mathrm{d}V}{\mathrm{d}h}=\stackrel{\frac{\partial V}{\partial h}}{\overbrace{\frac{\pi r^2}{3}}}+\stackrel{\frac{\partial V}{\partial r}}{\overbrace{\frac{2\pi rh}{3}}}\frac{\mathrm{d}r}{\mathrm{d}h}$

Адрозненне паміж поўнай і частковай вытворнай — ухіленне ўскосных залежнасцей паміж зменнымі ў апошняй.

Калі (па некаторых прычынах) прапорцыі конуса застаюцца нязменнымі, то вышыня і радыус знаходзяцца ў фіксаванай адносіне Шаблон:Math,

$s=\frac{h}{r}=\frac{\mathrm{d}h}{\mathrm{d}r}.$

Гэта дае поўную вытворную адносна r:

$\frac{\mathrm{d}V}{\mathrm{d}r}=\frac{2\pi rh}{3}+s\frac{\pi r^2}{3}$

Ураўненні, у якія ўваходзяць частковыя вытворныя, называюцца дыферэнцыяльнымі ўраўненнямі ў частковых вытворных і шырока вядомыя ў фізіцы, інжынерыі і іншых навуках і прыкладных дысцыплінах.