Лорэнц-каварыянтнасць

Лорэнц-каварыянтнасць — уласцівасць фізічных законаў запісвацца аднолькава ва ўсіх інерцыйных сістэмах адліку (з улікам пераўтварэнняў Лорэнца). Прынята лічыць, што гэтай уласцівасцю павінны валодаць усе фізічныя законы, і эксперыментальных адхіленняў ад яго не выяўлена. Аднак некаторыя тэорыі пакуль не ўдаецца пабудаваць так, каб выконвалася Лорэнц-каварыянтнасць Шаблон:Крыніца?.

Тэрміналогія

Лорэнц-каварыянтнасць фізічных законаў

Лорэнц-каварыянтнасць фізічных законаў — канкрэтызацыя прынцыпу адноснасці (г. зн. пастулюемага патрабавання незалежнасці вынікаў фізічных эксперыментаў і запісу ўраўненняў ад выбару канкрэтнай сістэмы адліку). Гістарычна гэтая канцэпцыя стала вядучай пры ўключэнні ў сферу дзеяння прынцыпу адноснасці (які раней фармуляваўся з ужываннем не пераўтварэнняў Лорэнца, а пераўтварэнняў Галілея) максвелаўскай электрадынамікі, ужо тады Лорэнц-каварыянтную і якая не мела бачных магчымасцяў пераробкі для каварыянтнасці адносна пераўтварэнняў Галілея, што прывяло да распаўсюджвання патрабавання Лорэнц-каварыянтнасці і на механіку і з прычыны гэтага да змены апошняй.

Лорэнц-інварыянтныя велічыні

Лорэнц-інварыянтнасцю называюць уласцівасць якой-небудзь велічыні захоўвацца пры пераўтварэннях Лорэнца (звычайна маецца на ўвазе скалярная велічыня, аднак сустракаецца і прымяненне гэтага тэрміну да 4-вектараў або тэнзараў, маючы на ўвазе не іх канкрэтнае ўяўленне, а «самі геаметрычныя аб'екты»).

Паводле тэорыі уяўленняў групы Лорэнца, Лорэнц-каварыянтныя велічыні, акрамя скаляраў, будуюцца з 4-вектараў, спінараў і іх тэнзарных здабыткаў (тэнзарныя палі).

«Інварыянтнасць» vs «каварыянтнасць»

У апошні час намецілася выцясненне тэрміна Лорэнц-каварыянтнасць тэрмінам Лорэнц-інварыянтнасць, які ўсё часцей ужываецца роўна і да законаў (ураўнанням), і да велічыньШаблон:Крыніца?. Цяжка сказаць, ці з'яўляецца гэта ўжо нормай мовы, ці ўсё ж хутчэй за некаторыя вольнасці ужывання. Аднак у больш старой літаратуры мелася тэндэнцыя строгага размежавання гэтых тэрмінаў: першы (каварыянтнасць) выкарыстоўваўся ў адносінах да ўраўненням і шматкампанентным велічыням (прадстаўленням тэнзараў, у тым ліку вектараў, і самім тэнзарам, т. я. часта не праводзілася тэрміналагічнай грані паміж тэнзарам і наборам яго кампанент), маючы на ўвазе ўзгодненае змяненне кампанент усіх, хто ўваходзіў у роўнасці велічынь або проста узгодненая адзін з адным змена кампанент розных тэнзараў (вектараў); другі ж (інварыянтнасць) прымяняўся, як больш прыватны, да скаляраў (таксама да скалярных выразаў), маючы на ўвазе простую нязменнасць велічыні.

Прыклады

Скаляры

Сінонімам слоў Лорэнц-інварыянтная велічыня ў 4-мерным прасторава-часовым фармалізме з'яўляецца тэрмін скаляр, які для поўнай канкрэтызацыі маецца на ўвазе кантэксту часам называюць Лорэнц-інварыянтным скалярам.

Інтэрвал:

$\mathrm{\Delta }{s}^2={\eta }_{ab}{x}^a{x}^b=c^2\mathrm{\Delta }{t}^2-\mathrm{\Delta }{x}^2-\mathrm{\Delta }{y}^2-\mathrm{\Delta }{z}^2$

Уласны час: пры раўнамерным руху:

$\mathrm{\Delta }\tau =\sqrt{\frac{\mathrm{\Delta }{s}^2}{c^2}},\mathrm{\Delta }{s}^2>0$

у агульным выпадку :

$\mathrm{\Delta }\tau =\int d\tau =\frac{1}{c}\int \sqrt{(ds{)}^2}=\int \sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}dt,$ дзе $v$ — велічыня трохмернай хуткасці, прычым маецца на ўвазе, што ўсюды $(ds{)}^2>0,v<c$.

Дзеянне для масіўнай бесструктурнай кропкавай часціцы масы m:

$S=m{c}^2\mathrm{\Delta }\tau =mc\int \sqrt{(ds{)}^2}=m{c}^2\int \sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}dt$

Інварыянтная маса m:

$m^2{c}^2={\eta }_{ab}{p}^a{p}^b=\frac{E^2}{c^2}-p_x^2-p_y^2-p_z^2$

Электрамагнітныя інварыянты (з тэорыі Максвела) :

$F_{ab}{F}^{ab}=2(B^2-\frac{E^2}{c^2})$

$G_{cd}{F}^{cd}={ϵ}_{abcd}{F}^{ab}{F}^{cd}=\frac{2}{c}(\overrightarrow{B}\cdot \overrightarrow{E})$

Хвалевы аператар (аператар Даламбера):

$◻={\eta }^{\mu \nu }{\partial }_{\mu }{\partial }_{\nu }=\frac{1}{c^2}\frac{{\partial }^2}{\partial t^2}-\frac{{\partial }^2}{\partial x^2}-\frac{{\partial }^2}{\partial y^2}-\frac{{\partial }^2}{\partial z^2}$

(пры дадзеным выбары сігнатуры метрыкі Мінкоўскага η прыведзены выгляд аператара супадае з традыцыйным вызначэннем аператара Даламбера з дакладнасцю да знака).

4-вектары

$x^a=[ct,x,y,z]$

${\partial }_a=[\frac{1}{c}\frac{\partial }{\partial t},\frac{\partial }{\partial x},\frac{\partial }{\partial y},\frac{\partial }{\partial z}]$

$U^a=\frac{d{x}^a}{d\tau }=\frac{1}{\sqrt{1-v^2/c^2}}[c,v_x,v_y,v_z],$

где $v_x=\frac{dx}{dt},v_y=\frac{dy}{dt},v_z=\frac{dz}{dt},v=\sqrt{v_x^2+v_y^2+v_z^2}$

$p^a=m_0{U}^a=[\frac{E}{c},p_x,p_y,p_z]$

$j^a=[c\rho ,j_x,j_y,j_z]$

Тэнзары

${\delta }_b^a=\{\begin{array}{cc}1& \text{if }a=b,\\ 0& \text{if }a\ne b.\end{array}$

${\eta }_{ab}={\eta }^{ab}=\{\begin{array}{cc}1& \text{if }a=b=0,\\ -1& \text{if }a=b=1,2,3,\\ 0& \text{if }a\ne b.\end{array}$

${ϵ}_{abcd}=-{ϵ}^{abcd}=\{\begin{array}{cc}+1& \text{if }\{abcd\}\text{ is an even permutation of }\{0123\},\\ -1& \text{if }\{abcd\}\text{ is an odd permutation of }\{0123\},\\ 0& \text{otherwise.}\end{array}$

$F_{ab}=\left[\begin{array}{cccc}0& E_x/c& E_y/c& E_z/c\\ -E_x/c& 0& -B_z& B_y\\ -E_y/c& B_z& 0& -B_x\\ -E_z/c& -B_y& B_x& 0\end{array}\right]$

$G_{cd}=\frac{1}{2}{ϵ}_{abcd}{F}^{ab}=\left[\begin{array}{cccc}0& B_x& B_y& B_z\\ -B_x& 0& -E_z/c& E_y/c\\ -B_y& E_z/c& 0& -E_x/c\\ -B_z& -E_y/c& E_x/c& 0\end{array}\right]$

Гл. таксама

• Пераўтварэнні Лорэнца
• Прынцып адноснасці