Дыскрэтнае пераўтварэнне Абеля

Шаблон:Значэнні У матэматычным аналізе дыскрэтным пераўтварэннем А́беля называецца наступная тоеснасць:

$\sum _{k=1}^N{a}_k{b}_k=\sum _{k=1}^{N-1}{B}_k(a_k-a_{k+1})+a_N{B}_N,$

дзе элементы $a_k,b_k$ зададзены, а $B_k$ — частковая сума элементаў $b_i$ (па індэксах ад 1 да k уключна):

$B_k=\sum _{i=1}^k{b}_i=b_1+b_2+\dots +b_k.$

Пераўтварэнне Абеля з'яўляецца дыскрэтным адпаведнікам інтэгравання па частках і іншы раз называецца сумаваннем па частках.

Пераўтварэнне было названа ў гонар нарвежскага матэматыка Нільса Хенрыка Абеля і выкарыстоўваецца пры доказе прыкметы збежнасці Дзірыхле.

У літаратуры пераўтварэнне Абеля можа сустракацца ў розных эквівалентных фармулёўках.

Доказ

Ёсць дзве паслядоўнасці $(a_n)$ і $(b_n),$ пры $n\in \mathbb{N}.$ Разгледзім наступны рад:

$S_N=\sum _{n=0}^N{a}_n{b}_n.$

Абазначым

$B_n=\sum _{k=0}^n{b}_k,$

тады для ўсіх n > 0 маем

$b_n=B_n-B_{n-1}.$

Адкуль адразу ж атрымліваем

$S_N=a_0{b}_0+\sum _{n=1}^N{a}_n(B_n-B_{n-1}),$

$S_N=a_0{b}_0-a_1{B}_0+a_N{B}_N+\sum _{n=1}^{N-1}{B}_n(a_n-a_{n+1}).$

У выніку атрымліваем наступную роўнасць:

$S_N=a_N{B}_N-\sum _{n=0}^{N-1}{B}_n(a_{n+1}-a_n).$