Дыскрэтнае пераўтварэнне Абеля

Шаблон:Значэнні У матэматычным аналізе дыскрэтным пераўтварэннем А́беля называецца наступная тоеснасць:

\sum_{k = 1}^{N} a_{k} b_{k} = \sum_{k = 1}^{N - 1} B_{k} (a_{k} - a_{k + 1}) + a_{N} B_{N},

дзе элементы $a_{k}, b_{k}$ зададзены, а $B_{k}$ — частковая сума элементаў $b_{i}$ (па індэксах ад 1 да k уключна):

B_{k} = \sum_{i = 1}^{k} b_{i} = b_{1} + b_{2} + \dots + b_{k} .

Пераўтварэнне Абеля з'яўляецца дыскрэтным адпаведнікам інтэгравання па частках і іншы раз называецца сумаваннем па частках.

Пераўтварэнне было названа ў гонар нарвежскага матэматыка Нільса Хенрыка Абеля і выкарыстоўваецца пры доказе прыкметы збежнасці Дзірыхле.

У літаратуры пераўтварэнне Абеля можа сустракацца ў розных эквівалентных фармулёўках.

Доказ

Ёсць дзве паслядоўнасці $(a_{n})$ і $(b_{n}),$ пры $n \in ℕ .$ Разгледзім наступны рад:

S_{N} = \sum_{n = 0}^{N} a_{n} b_{n} .

Абазначым

B_{n} = \sum_{k = 0}^{n} b_{k},

тады для ўсіх n > 0 маем

b_{n} = B_{n} - B_{n - 1} .

Адкуль адразу ж атрымліваем

S_{N} = a_{0} b_{0} + \sum_{n = 1}^{N} a_{n} (B_{n} - B_{n - 1}),

S_{N} = a_{0} b_{0} - a_{1} B_{0} + a_{N} B_{N} + \sum_{n = 1}^{N - 1} B_{n} (a_{n} - a_{n + 1}) .

У выніку атрымліваем наступную роўнасць:

S_{N} = a_{N} B_{N} - \sum_{n = 0}^{N - 1} B_{n} (a_{n + 1} - a_{n}) .