Бра і кет

⟨	∣	⟩
bra		ket
бра		кет
дуж		ка

Бра і кет (Шаблон:Lang-en - дужка) — алгебраічны фармалізм (сістэма абазначэнняў), прызначаны для апісання квантавых станаў. Называется таксама абазначэннямі Дырака. У матрычнай механіцы такая сістэма абазначэнняў з'яўляецца агульнапрынятай.

Азначэнне і выкарыстанне

У квантавай механіцы стан сістэмы апісваецца променем (напрамкам) у сепарабельнай гільбертовай прасторы, ці, што эквівалентна, элементам праектыўнай гільбертавай прасторы $\mathscr{H},$ элементы якой завуцца «вектары стана» («кет-вектары») і пазначаюцца сімвалам $|\psi ⟩$.

Кожнаму кет-вектару $|\psi ⟩$ ставіцца ў адпаведнасць бра-вектар з прасторы, сапружанай да $\mathscr{H},$ гэта значыць з ${\mathscr{H}}^{*}.$

Бра-вектар $⟨\psi |$ з прасторы ${\mathscr{H}}^{*}$азначаецца раўнаннем:

$⟨\psi |:\mathscr{H}\to ℂ:⟨\psi |(|\rho ⟩)=(|\psi ⟩,|\rho ⟩)$ для любога кет-вектара $|\rho ⟩.$

Вольна кажучы, у нейкім сэнсе бра-вектары «супадаюць» з адпаведнымі ім камплексна-сапружанымі кет-вектарамі. Пры гэтым звычайна адбываецца атаясамленне вектараў і функцыяналаў над вектарамі са слупкамі ці радкамі каардынат разлажэння іх па адпаведным базісе ${\mathscr{H}}^{*}$ці $\mathscr{H}.$

Скалярны здабытак бра-вектара з кет-вектарам (а больш дакладна, дзеянне бра-вектара на кет-вектар) запісваецца у выглядзе $⟨\phi |\psi ⟩;$ дзве вертыкальныя рысы «зліваюцца», а дужкі не пішуцца. Квадрат вектара, па вызначэнні гильбертовай прасторы, неадмоўны: $⟨\psi |\psi ⟩⩾0.$ На вектары, што апісваюць станы сістэмы, накладаецца ўмова нарміроўкі$⟨\psi |\psi ⟩=1.$

Лінейныя аператары

Калі $A:H\to H$ — лінейны аператар з $H$ у $H$, то дзеянне аператара $A$ на кет -вектар $|\psi ⟩$ запісваецца як $A|\psi ⟩.$

Для кожнага аператара $A$ і бра-вектара $⟨\phi |$ уводзіцца функцыянал $(⟨\phi |A)$ з прасторы ${\mathscr{H}}^{*},$ гэта значыць бра-вектар, памножаны на аператар $A$, што азначаецца роўнасцю:

$(⟨\phi |A)|\psi ⟩=⟨\phi |(A|\psi ⟩),$ для любого вектара $|\psi ⟩.$

Паколькі месцазнаходзанне дужак не мае значэння, іх звычайна прыбіраюць і пішуць проста $⟨\phi |A|\psi ⟩.$

Гэтае выражэнне называется свёрткай аператара $A$ з бра-вектарам $⟨\phi |$ і кет-вектарам $|\psi ⟩.$ Значэнне гэтага выражэння ёсць скаляр (камплексны лік).

У прыватнасці, матрычны элемент аператара $A$ ў акрэсленым базісе (у тэнзарных абазначэннях — $A_{kl}$) запісваецца у абазначэннях Дырака як $⟨k|A|l⟩,$ а сярэдняе значэнне назіраемай у квантавым стане $\psi$ — як $⟨\psi |A|\psi ⟩.$

Множанне вектараў на аператар (кет-вектара — злева, бра-вектара — справа) дае вектары таго ж тыпа і запісвается тым жа спосабам, што і ў лінейнай алгебры (гэта значыць, што бра- і кет-вектары атаясамліваюцца з вектарамі-радкамі і слупкамі, а аператары — з квадратнымі матрыцамі):

$|\tilde{\psi }⟩=A|\psi ⟩,$

$⟨\tilde{\phi }|=⟨\phi |A.$

Ураўненне Шродзінгера (для стацыянарнага стана) будзе мець выгляд:

$H|\psi ⟩=E|\psi ⟩,$ дзе $H$ — гамильтаніян, а  $E$ — скаляр (энергія стану).

Адрозненні бра-кет-абазначэнняў ад традыцыйных

У матэматыцы ўжываецца абазначэнне «эрмітавага» скалярнага здабытку $⟨\phi ,\psi ⟩$ ў гільбертавай прасторы, якое мае той жа сэнс, што і перамнажэнне бра на кет. Аднак матэматыкі звычайна разглядаюць вуглавыя дужкі як знак аперацыі, а не часткі абазначэння вектара. Традыцыйнае матэматычнае абазначэнне, у адрозненне ад дыракаўскага, несіметрычнае — абодва вектары лічацца велічынямі аднаго тыпу, і па першым аргуменце з двух аперацыя з'яўляецца антылінейнай.

З іншага боку, здабытак бра і кет з'яўляецца білінейным, але ад двух аргументаў рознага тыпу. Сапружаным да кет-вектара $i|\psi ⟩$ ёсць бра-вектар $-i⟨\psi |$ (дзе $i$ — уяўная адзінка). Аднак, у квантавай механіцы гэтую мудрагелістасць абазначэнняў дазваляецца ігнараваць, паколькі квантавы стан, прадстаўляемы вектарам, не залежыць ад множання вектара на любыя камплексныя лікі, па модулю роўныя адзінцы.

Акрамя таго, выкарыстанне бра і кет дазваляе падкрэсліць адрозненне стана $\psi$ (запісваецца літарай без дужак і рысак) ад канкрэтных вектараў, што яго прадстаўляюць.

У адрозненне ад алгебраічных абазначэнняў, дзе элементы базісу пазначаюцца як $e_k,$ у бра-кет-абазначэннях можа указвацца адзін толькі індэкс базіснага элемента, напрыклад: $⟨k|,|l⟩.$ Гэтым яны падобныя да тэнзарных абазначэнняў, але, у адрозненне ад апошніх, дазваляюць запісваць здабыткі аператараў з вектарамі без выкарыстання дапаўняльных (падтэкставых ці надрадковых) літар.

Матэматычныя ўласцівасці

Бра і кет можна выкарыстоўваць і ў чыстай матэматыцы для абазначэння элементаў сапружаных адна да адной лінейных прастораў. Калі, напрыклад, $\mathscr{H}=R^n,$ то кет-вектары лічацца пры гэтым «вектарамі-слупкамі», а бра-вектары — «вектарамі-радкамі».

Перамнажэнне бра- і кет-вектараў адзін на аднаго і на аператары можна разглядаць як прыватны выпадак матрычнага фармалізму «радок на слупок». А менавіта, над трэба лічыць кет-вектары матрыцамі памеру $N\times 1$, бра-вектары — памеру $1\times N$, аператары — памеру $N\times N$, дзе $N$ — колькасць станаў квантавай сістэмы (размернасць прасторы $\mathscr{H}$). Матрыцы памеру Шаблон:Math маюць адзіны элемент і атаясамляюцца са скалярамі. У выпадку бясконцамернае прасторы станаў на «матрыцы» (фактычна рады) даводзіцца накладаць дадатковыя ўмовы збежнасці.

Формула для сапружанага вектара выглядае наступным чынам:

$⟨\psi |=\left(\begin{array}{c}{\bar{c}}_1,{\bar{c}}_2,\dots ,{\bar{c}}_N\end{array}\right),$

дзе

$|\psi ⟩=\left(\begin{array}{c}{c}_1\\ c_2\\ ⋮\\ c_N\end{array}\right)$

Запіс тыпа $⟨\dots ⟩$ заўжды азначае скаляр. Бра-вектар заўжды мае дужку злева: $⟨,$ кет-вектар — дужку справа: $⟩.$ Да таго ж, уводзіцца здабытак у «ненатуральным» парадку $|\phi ⟩⟨\psi |$— (аналагічна матрычнаму множанню вектара-слупка на вектар-радок), якое дае гэтак называемый кет-бра-аператар. Аператар $|\psi ⟩⟨\phi |$ мае ранг 1 і з'яўляецца тэнзарным здабыткам $|\psi ⟩$ і $⟨\phi |.$ Такія аператары часта разглядаюцца ў тэорыі аператараў і квантавых вылічэннях. У прыватнасці, аператар $|\psi ⟩⟨\psi |$ (пры ўмове нарміроўкі $⟨\psi |\psi ⟩=1$) з'яўляецца праектарам на стан $\psi$, дакладней, на адпаведную аднамерную лінейную падпрастору ў $\mathscr{H}.$

Мае месца асацыятыўнасць:

$⟨\phi |\cdot A|\psi ⟩=⟨\phi |A|\psi ⟩=⟨\phi |A\cdot |\psi ⟩,$

$|\psi ⟩\cdot ⟨\phi |\tilde{\psi }⟩=(|\psi ⟩⟨\phi |)\cdot |\tilde{\psi }⟩$.

Літаратура

• Шаблон:Кніга
• Шаблон:Кніга
• Шаблон:Кніга
• Шаблон:Кніга
• Шаблон:Кніга
• Шаблон:Кніга