Трыганаметрыя

Трыганаметрыя (ад Шаблон:Lang-el «трохвугольнік» і Шаблон:Lang-el «вымяраць», г. зн. «вымярэнне трохвугольнікаў») — раздзел матэматыкі пра суадносіны старон і вуглоў у трохвугольніку. Асноўная задача трыганаметрыі — «рашэнне трохвугольніка», г.зн. вылічэнне невядомых велічынь па вядомых.

Гісторыя

Вытокі трыганаметрыі бяруць пачатак у старажытным Егіпце, Вавілоне і даліне Інда больш за 3000 гадоў назад. Індыйскія матэматыкі былі першапраходцамі ва ўжыванні алгебры і трыганаметрыі ў астранамічных разліках. Лагадха — адзіны з самых старажытных вядомых сёння матэматыкаў, які карыстаўся геаметрыяй і трыганаметрыяй у сваёй кнізе «Дж'етыша-веданга» («Jyotisa Vedanga»). Большая частка яго прац якога была знішчана замежнымі захопнікамі.

Грэчаскі матэматык Клаўдзій Пталамей таксама ўнёс вялікі ўклад у развіццё трыганаметрыі.

Трыганаметрычныя функцыі

Адзінкавая акружнасць

Лікавыя значэнні трыганаметрычных функцый вугла $\alpha$ на трыганаметрычнай акружнасці з адзінкавым радыусам

Возьмем адзінкавую акружнасць на плоскасці (цэнтр у пачатку адліку, радыус 1). Правядзём прамень $l$ з пачатку адліку і будзем адлічваць велічыню вугла $\alpha$ ад дадатнага праменя восі $Ox$ супраць гадзіннікавай стрэлкі. Велічыню вугла можна выражаць у градусах, радыянах ці градах. Мы будзем разглядаць у градусах. Няхай пунктам перасячэння $l$ з адзінкавай акружнасцю будзе $M$. Тады па азначэнню:

• функцыя косінус $\cos (\alpha )$ будзе абсцысай $M$,
• функцыя сінус $\sin (\alpha )$ будзе ардынатай $M$
• функцыя тангенс $\mathrm{tg}(\alpha )$ будзе дзеллю ардынаты $M$ і яе абсцысы: $\mathrm{tg}(\alpha )=\frac{\sin (\alpha )}{\cos (\alpha )}$
• функцыя катангенс $\mathrm{ctg}(\alpha )$ будзе дзеллю абсцысы $M$ і яе ардынаты: $\mathrm{ctg}(\alpha )=\frac{\cos (\alpha )}{\sin (\alpha )}$
• функцыя секанс $\sec (\alpha )$ будзе дзеллю $\frac{1}{\sin (\alpha )}$
• функцыя касеканс $\mathrm{cosec}(\alpha )$ будзе дзеллю $\frac{1}{\cos (\alpha )}$

Графік функцыі y = sin(x)

Графік функцыі y = cos(x)

Функцыі $\sin (\alpha )$ і $\cos (\alpha )$ вызначаныя на ўсём $ℝ$, вобласць значэнняў [-1,1] і перыяд $2\pi$. Функцыя $\mathrm{tg}(\alpha )$ не вызначана ў пунктах $\pi n$, $n\in \mathbb{Z}$, а функцыя $\mathrm{ctg}(\alpha )$ не вызначана ў пунктах $\pi n+\pi /2$, $n\in \mathbb{Z}$, і абедзве маюць вобласць значэнняў $ℝ$ і перыяд $\pi$.

Адваротныя трыганаметрычныя функцыі

Функцыя, адваротная да

• $\sin (\alpha )$ называецца арксінус $\arcsin (\alpha )$
• $\cos (\alpha )$ называецца арккосінус $\arccos (\alpha )$
• $\mathrm{tg}(\alpha )$ называецца арктангенс $\mathrm{arctg}(\alpha )$
• $\mathrm{ctg}(\alpha )$ называецца арккатангенс $\mathrm{arcctg}(\alpha )$

Асноўныя трыганаметрычныя тоеснасці

Асноўная трыганаметрычная тоеснасць ${\sin }^2(\alpha )+{\cos }^2(\alpha )=1$.

Формула косінуса сумы: $\cos (\alpha +\beta )=\cos (\alpha )\cos (\beta )-\sin (\alpha )\sin (\beta )$

Формула косінуса рознасці: $\cos (\alpha -\beta )=\cos (\alpha )\cos (\beta )+\sin (\alpha )\sin (\beta )$

Формула сінуса сумы: $\sin (\alpha +\beta )=\sin (\alpha )\cos (\beta )+\sin (\beta )\cos (\alpha )$

Формула сінуса рознасці: $\sin (\alpha -\beta )=\sin (\alpha )\cos (\beta )-\sin (\beta )\cos (\alpha )$

Трыганаметрычныя функцыі комплекснай зменнай

y = sin(x) на комплекснай плоскасці

Раскладзём функцыі $\sin (x)$ і $\cos (x)$ ў рад Тэйлара:

$\sin (x)=x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\dots +(-1{)}^k\frac{x^{2k-1}}{(2k-1)!}+\dots ,$

$\cos (x)=1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}-\dots +(-1{)}^k\frac{x^{2k}}{(2k)!}+\dots$

і вызначым трыганаметрычныя функцыі камплекснай зменнай $z$:

$\sin (z)=z-\frac{z^3}{3!}+\frac{z^5}{5!}-\dots +(-1{)}^k\frac{z^{2k-1}}{(2k-1)!}+\dots ,$

$\cos (z)=1-\frac{z^2}{2!}+\frac{z^4}{4!}-\dots +(-1{)}^k\frac{z^{2k}}{(2k)!}+\dots .$

Большасць уласцівасцей гэтых функцый для рэчаіснай зменнай распаўсюджваецца і на камплексную зменную. Але на камплекснай плоскасці іх вобласць значэнняў — усё $ℂ$.

Значэнні трыганаметрычных функцый для некаторых вуглоў

Значэнні сінуса, косінуса, тангенса, котангенса, секанса і косеканса для некаторых вуглоў прыведзены ў табліцы. («∞» азначае, што функцыя ў таком пункце не вызначана і ў яго наваколлі імкнецца да бесканечнасці).

$\alpha$	0°(0 рад)	30° (Шаблон:Math/6)	45° (Шаблон:Math/4)	60° (Шаблон:Math/3)	90° (Шаблон:Math/2)	180° (Шаблон:Math)	270° (3Шаблон:Math/2)	360° (2Шаблон:Math)
$\sin \alpha$	$0$	$\frac{1}{2}$	$\frac{\sqrt{2}}{2}$	$\frac{\sqrt{3}}{2}$	$1$	$0$	$-1$	$0$
$\cos \alpha$	$1$	$\frac{\sqrt{3}}{2}$	$\frac{\sqrt{2}}{2}$	$\frac{1}{2}$	$0$	$-1$	$0$	$1$
$\mathrm{tg}\alpha$	$0$	$\frac{\sqrt{3}}{3}$	$1$	$\sqrt{3}$	$\mathrm{\infty }$	$0$	$\mathrm{\infty }$	$0$
$\mathrm{ctg}\alpha$	$\mathrm{\infty }$	$\sqrt{3}$	$1$	$\frac{\sqrt{3}}{3}$	$0$	$\mathrm{\infty }$	$0$	$\mathrm{\infty }$
$\sec \alpha$	$1$	$\frac{2\sqrt{3}}{3}$	$\sqrt{2}$	$2$	$\mathrm{\infty }$	$-1$	$\mathrm{\infty }$	$1$
$\mathrm{cosec}\alpha$	$\mathrm{\infty }$	$2$	$\sqrt{2}$	$\frac{2\sqrt{3}}{3}$	$1$	$\mathrm{\infty }$	$-1$	$\mathrm{\infty }$

Значэнні косінуса і сінуса на акружнасці.

Ужыванне

Трыганаметрычныя вылічэнні ўжываюцца практычна ва ўсіх абласцях геаметрыі, фізікі і інжынерыі.

Гл. таксама

• Сферычная трыганаметрыя
• Эліптычная трыганаметрыя
• Гіпербалічная трыганаметрыя

Літаратура

• Я. Я. Выгодский «Справочник по элементарной математике»
• Ю. Ю. Громов, Н. А. Земской, О. Г. Иванова и др. «Тригонометрия»
• И. И. Привалов «Введение в теорию функций комплексного переменного»