Адваротная функцыя

Функцыя $f$ і яе адваротная функцыя $f^{-1}$. Калі $f(a)=3$, то $f^{-1}(3)=a$

Адваро́тная фу́нкцыя — функцыя, якая абарачае вызначаную функцыю: калі функцыя Шаблон:Math ад аргумента Шаблон:Math дае значэнне Шаблон:Math, то яе адваротная функцыя Шаблон:Math ад Шаблон:Math дае Шаблон:Math, г. зн. Шаблон:Math, і Шаблон:Math. Коратка гэта можна запісаць так: Шаблон:Math.

Функцыю, адваротную да функцыі Шаблон:Math, звычайна абазначаюць як Шаблон:Math.

Функцыя, для якой існуе адваротная функцыя, называецца абарачальнаю.

Азначэнне

Функцыя $g:Y\to X$ з'яўляецца адваротнаю да функцыі $f:X\to Y$, калі выконваюцца наступныя тоеснасці:

• $f(g(y))=y$ для ўсіх $y\in Y;$
• $g(f(x))=x$ для ўсіх $x\in X.$

Існаванне

Каб знайсці адваротную функцыю, трэба развязаць ураўненне $y=f(x)$ адносна $x$. Калі яно мае больш чым адзін корань, то функцыі, адваротнай да $f$, не існуе. Такім чынам, функцыя $f(x)$ абарачальная на прамежку $(a,b)$ тады і толькі тады, калі на гэтым прамежку яна ін'ектыўная.

Для непарыўнай функцыі $F(y)$ выразіць $y$ з ураўнення $x-F(y)=0$ можна ў тым і толькі тым выпадку, калі функцыя $F(y)$ манатонная (см. тэарэма пра няяўную функцыю). Тым не менш, непарыўную функцыю заўсёды можна абярнуць на прамежках яе манатоннасці. Напрыклад, $\sqrt{x}$ з'яўляецца адваротнаю да $x^2$ на $[0,+\mathrm{\infty })$, хоць на прамежку $(-\mathrm{\infty },0]$ адваротная функцыя іншая: $-\sqrt{x}$.

Прыклады

• Калі $F:ℝ\to {ℝ}_{+},F(x)=a^x$, дзе $a>0,$ то $F^{-1}(x)={\log }_{a}x.$
• Калі $F(x)=ax+b,x\in ℝ$, дзе $a,b\in ℝ$ вызначаныя пастаянныя і $a\ne 0$, то $F^{-1}(x)=\frac{x-b}{a}.$
• Калі $F(x)=x^n,x\ge 0,n\in \mathbb{Z}$, то $F^{-1}(x)=\sqrt[n]{x}.$

Уласцівасці

• Вобласцю вызначэння $F^{-1}$ з'яўляецца мноства $Y$, а вобласцю значэнняў — мноства $X$.
• Па азначэнню маем:

$y=F(x)\iff x=F^{-1}(y)$

ці

$F(F^{-1}(y))=y,\mathrm{\forall }y\in Y,$

$F^{-1}(F(x))=x,\mathrm{\forall }x\in X,$

або карацей

$F\circ F^{-1}={\mathrm{i}\mathrm{d}}_Y,$

$F^{-1}\circ F={\mathrm{i}\mathrm{d}}_X,$

дзе $\circ$ абазначае кампазіцыю функцый, а ${\mathrm{i}\mathrm{d}}_X,{\mathrm{i}\mathrm{d}}_Y$ — тоесныя адлюстраванні на $X$ і $Y$ адпаведна.

• Функцыя $F$ з'яўляецца адваротнаю да $F^{-1}$:

${\left(F^{-1}\right)}^{-1}=F$.

• Няхай $F:X\subset ℝ\to Y\subset ℝ$ — біекцыя. Няхай $F^{-1}:Y\to X$ яе адваротная функцыя. Тады графікі функцый $y=F(x)$ і $y=F^{-1}(x)$ сіметрычныя адносна прамой $y=x$.

Раскладанне ў ступенны рад

Адваротную функцыю аналітычнай функцыі можна прадставіць у выглядзе ступеннага рада:

$F^{-1}(y)=\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}{A}_k(x_0)\frac{(y-f(x_0){)}^k}{k!},$

дзе каэфіцыенты $A_k$ задаюцца рэкурсіўнаю (зваротнаю) формулай:

$A_k(x)=\{\begin{array}{c}{A}_0(x)=x,\\ A_{n+1}(x)=\frac{{A_n}^{\prime }(x)}{F^{\prime }(x)}.\end{array}$

Гл. таксама

• Біектыўнае адлюстраванне
• Тэарэма Лагранжа аб абарачэнні радоў
• Адваротныя трыганаметрычныя функцыі