Кампазіцыя функцый

Шаблон:Math, кампазіцыя Шаблон:Math і Шаблон:Math. Напрыклад, Шаблон:Math.

У матэматыцы кампазіцыя функцый, ці суперпазіцыя функцый — гэта прымяненне адной функцыі к выніку другой.

Кампазіцыя функцый $G$ і $F$ звычайна абазначаецца $G\circ F$, што абазначае прымяненне функцыі $G$ к выніку функцыі $F$.

Азначэнне

Няхай $F:X\to Y$ і $G:F(X)\subset Y\to Z$ — дзве функцыі. Тады іх кампазіцыяй называецца функцыя $G\circ F:X\to Z$, вызначаная роўнасцю:

$(G\circ F)(x)=G(F(x)),x\in X.$

Звязаныя азначэнні

• Кампазіцыю дзвюх функцый могуць абазначаць тэрмінам «складаная функцыя». Тым не менш, ён часцей ужываецца ў сітуацыі, калі на ўваход функцыі некалькіх зменных падаецца адразу некалькі функцый ад аднае ці некалькіх зыходных зменных. Напрыклад, складанай можна назваць функцыю $G$ віду

  $G(x,y)=F(u(x,y),v(x,y)),$

таму што яна ўяўляе сабой функцыю $F$, якой на ўваход падаюцца вынікі функцый $u$ і $v$.

Уласцівасці кампазіцыі

• Кампазіцыя асацыятыўная:

  $(H\circ G)\circ F=H\circ (G\circ F).$

• Калі $F={\mathrm{i}\mathrm{d}}_X$ — тоеснае адлюстраванне на $X$, г.зн.

  $F(x)={\mathrm{i}\mathrm{d}}_X(x)=x,\mathrm{\forall }x\in X,$

то

$G\circ {\mathrm{i}\mathrm{d}}_X=G.$

• Калі $G={\mathrm{i}\mathrm{d}}_Y$ — тоеснае адлюстраванне на $Y$, г.зн.

  $G(y)={\mathrm{i}\mathrm{d}}_Y(y)=y,\mathrm{\forall }y\in Y,$

то

${\mathrm{i}\mathrm{d}}_Y\circ F=F.$

• Разгледзім прастору ўсіх біекцый мноства $X$ на сябе і абазначым яе ${ℱ}_X$. Г.зн. калі $F\in {ℱ}_X$, то $F:X\to X$ — біекцыя. Тады
  • кампазіцыя функцый з ${ℱ}_X$ з'яўляецца бінарнай аперацыяй;
  • а $({ℱ}_X,\circ )$ — групай;
  • ${\mathrm{i}\mathrm{d}}_X$ з'яўляецца нейтральным элементам гэтай групы;
  • адваротным да элемента $F\in {ℱ}_X$ з'яўляецца $F^{-1}\in {ℱ}_X$ — адваротная функцыя.
  • Група $({ℱ}_X,\circ )$, увогуле кажучы, не камутатыўная, г.зн.

    $F_1\circ F_2=F_2\circ F_1.$

Дадатковыя ўласцівасці

• Кампазіцыя непарыўных функцый непарыўная.

Хай $(X,{𝒯}_X),(Y,{𝒯}_Y),(Z,{𝒯}_Z)$ — тапалагічныя прасторы. Хай $f:X\to Y$ і $g:Y\to Z$ — дзве функцыі, $y_0=f(x_0),f\in C(x_0),g\in C(y_0)$. Тады $g\circ f\in C(x_0)$.

• Кампазіцыя дыферэнцыруемых функцый дыферэнцыруемая.

Хай $f,g:ℝ\to ℝ,y_0=f(x_0),f\in 𝒟(x_0),g\in 𝒟(y_0).$ Тады $g\circ f\in 𝒟(x_0)$, і

$(g\circ f{)}^{\prime }(x_0)=g^{\prime }(y_0)\cdot f^{\prime }(x_0).$

Літаратура

• Сложная функция // Математическая энциклопедия / И. М. Виноградов (гл. ред.). — Т. 4. — М.: Советская энциклопедия, 1984. Столбцы 1214—1216.