Ін’екцыя (матэматыка)

Ін’ектыўная функцыя.

Ін’екцыя у матэматыцы — адлюстраванне $f$ мноства $X$ у мноства $Y$ ($f:X\to Y$), пры якім розныя элементы мноства $X$ адлюстроўваюцца ў розныя элементы мноства $Y$, гэта значыць, што калі два вобразы пры адлюстраванні супадаюць, то супадаюць і правобразы: $f(x)=f(y)\Rightarrow x=y$.

Ін’екцыю таксама называюць укладаннем або адна-адназначным адлюстраваннем (у адрозненне ад біекцыі, якая ўзаемна-адназначная). У адрозненне ад сюр’екцыі, пра якую гавораць, што яна адлюстроўвае адно мноства на іншае, аб ін’екцыі $f:X\to Y$ аналагічная фраза фармулюецца як адлюстраванне $X$ у $Y$.

Ін’екцыю можна таксама азначыць як адлюстраванне, для якога існуе левае адваротнае, гэта значыць, $f:X\to Y$ ін’ектыўнае, калі існуе $g:Y\to X$, пры якім $g\circ f={\mathrm{id}}_X$.

Паняцце ін’екцыі (разам з сюр’екцыяй і біекцыяй) з’явілася у працах Бурбакі і атрымала шырокае распаўсюджванне амаль ва ўсіх раздзелах матэматыкі.

Абагульненнем паняцця ін’екцыі у тэорыі катэгорый з’яўляецца паняцце манамарфізма, у многіх катэгорыях гэтыя паняцці эквівалентныя, аднак гэта выканана не заўжды.

Прыклады:

• $f:{ℝ}_{>0}\to ℝ,f(x)=\ln x$ — ін’ектыўная.
• $f:{ℝ}_{+}\to ℝ,f(x)=x^2$ — ін’ектыўная.
• $f:ℝ\to ℝ,f(x)=x^2$— не з’яўляецца ін’ектыўнай ($f(-2)=f(2)=4$).

Літаратура

• Шаблон:Кніга