Ступенная функцыя

Ступенныя функцыі з рознымі паказчыкамі ступені

Ступе́ннаяШаблон:Sfn, або ступе́невая фуШаблон:Націскнкцыя — функцыя выгляду $y=x^a$, дзе $a$ (паказчык, або паказчык ступені) — некаторы рэчаісны лікШаблон:Sfn. Да ступенных часта прылічваюць і функцыі выгляду $y=k{x}^a$, дзе k — нейкі множнік расцяжэння. Існуе таксама камплекснае абагульненне ступеневай функцыі. На практыцы паказчык ступені амаль заўсёды з’яўляецца цэлым ці рацыянальным лікам.

Рэчаісная ступенная функцыя

Абсяг вызначэння

• Калі паказчык ступені — цэлы лік, то ступенную функцыю можна вызначыць на ўсёй лікавай прамой (магчыма, акрамя нуля).
• Калі $a=\frac{p}{q}$, дзе $p,q$ — узаемна простыя лікі, $q>0$ — няцотны, то ступенная функцыя таксама вызначана пры любых рэчаісных x (магчыма, акрамя нуля).
• У агульным выпадку ступенная функцыя вызначана толькі пры $x>0$ (у абсяг вызначэння можа ўваходзіць і нуль, гл. ніжэй).
• Калі $a>0$, то функцыя вызначана таксама і пры $x=0$.
• Пры $a<0$ нуль ёсць асаблівым пунктам ступеннай функцыі.

Рацыянальны паказчык ступені

• Графікі ступеннай функцыі пры натуральным паказчыку n называюцца парабаламі парадку n. Пры $a=1$ атрымліваецца лінейная функцыя $y=kx$, называная прамой прапарцыйнай залежнасцю.
• Графікі функцый выгляду $y=x^{-n}$, дзе n — натуральны лік, называюцца гіпербаламі парадку n. Пры $a=-1$ атрымліваецца функцыя $y=\frac{k}{x}$, называная адваротнай прапарцыйнай залежнасцю.
• Калі $a=\frac{1}{n}$, то функцыя ёсць арыфметычным коранем ступені n.

Прыклад: з трэцяга закону Кеплера вынікае, што перыяд T абарачэння планеты вакол Сонца звязаны з вялікай паўвоссю A яе арбіты наступным чынам: $T=k{A}^{3/2}$ (паўкубічная парабала).

• 
  Парабалы парадку n:Шаблон:Легенда Шаблон:Легенда Шаблон:Легенда Шаблон:Легенда Шаблон:Легенда Шаблон:Легенда
• 
  Гіпербалы парадку n:Шаблон:Легенда Шаблон:Легенда Шаблон:Легенда

Уласцівасці

Шаблон:Гл. таксама

• Функцыя непарыўная і бясконца дыферэнцавальная ва ўсіх кропках, у наваколлі якіх яна вызначана. Нуль, увогуле кажучы, ёсць асаблівым пунктам.

Напрыклад, функцыя $y=\sqrt{x}$ вызначана ў нулі і яго правым наваколлі, але яе вытворная $y=\frac{1}{2\sqrt{x}}$ у нулі не вызначана.

• На прамежку $(0,\mathrm{\infty })$ функцыя манатонна нарастае пры $a>0$ і манатонна спадае пры $a<0$. Значэнні функцыі на гэтым прамежку дадатныя.
• Вытворная:

${\left(x^a\right)}^{\prime }=a{x}^{a-1}$.

• Першаісная:
  • Калі $a\ne -1$, то $\int x^{a}dx=\frac{x^{a+1}}{a+1}+C$
  • Калі $a=-1$, маем $\int \frac{dx}{x}=\ln |x|+C$

Камплексная ступенная функцыя

У агульным выпадку ступенная функцыя камплекснай зменнай z азначаецца якШаблон:Sfn:

$y=z^c=e^{c\cdot \mathrm{Ln}(z)}$

Тут паказчык ступені c — некаторы камплексны лік. Значэнне функцыі, адпаведнае галоўнаму значэнню лагарыфму, называецца галоўным значэннем ступені. Напрыклад, значэнне $i^i$ роўнае $e^{-(4k+1)\frac{\pi }{2}}$, дзе k — адвольны цэлы, а яго галоўнае значэнне роўнае $e^{i\ln (i)}=e^{-\frac{\pi }{2}}$.

Камплексная ступенная функцыя істотна адрозніваецца ад свайго рэчаіснага адменніку. З-за мнагазначнасці камплекснага лагарыфму яна, увогуле кажучы, таксама мае бясконца многа значэнняў. Аднак два выпадкі, важныя ў прыкладаннях, разглядаюцца асобна:

1. Пры натуральным паказчыку ступені функцыя $y=z^n$ адназначная і n-лістная.
2. Калі паказчык ступені — дадатны рацыянальны лік, г.зн. (нескарачальны) дроб $\frac{p}{q}$, то функцыя будзе мець q розных значэнняў.

Гл. таксама

• Узвядзенне ў ступень
• Лагарыфм
• Мнагасклад

Літаратура

• Шаблон:Крыніцы/БелЭн
• Алгебра: вучэб. дапам. для 11-га кл. устаноў агул. сярэд. адукацыі з беларус. мовай навучання Шаблон:Архівавана / А. П. Кузняцова[і інш.]; пад рэд. праф. Л. Б. Шнэпермана; пер. з рус. мовы Н. М. Алганавай. — 2-е выд., выпр. і дап. — Мінск: Нар. асвета, 2013. — 287 с.: іл. — 16 100 экз. — ISBN 978-985-03-1983-8.
• Шаблон:Кніга
• Шаблон:Кніга
• Шаблон:ВСЭ3

Спасылкі

• Шаблон:Commons