Пераўтварэнне Фур’е

Пераўтварэнне Фур'е — аперацыя, якая ставіць у апаведнасць пэўнай функцыі рэчаіснай зменнай другую функцыю рэчаіснай зменнай, а таксама вынік гэтай аперацыі. Функцыя, што атрымліваецца ў выніку, называецца фур'е-вобразам ці частотным спектрам. Па сутнасці, фур'е-вобраз апісвае набор частот сінусаідальных сігналаў (гармонік) разам з іх амплітудамі, у выніку складання якіх атрымліваецца першапачатковая функцыя.

Пераўтварэнне было названа ў гонар французскага матэматыка Жана Фур'е.

Фур'е-пераўтварэнне функцыі $f$ рэчаіснай зменнай уяўляе сабой інтэгральная пераўтварэнне, вызначанае формулай:

$\hat{f}(\omega )=F[f](\omega )=\frac{1}{\sqrt{2\pi }}\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}f(x)e^{-ix\omega }dx.$

Часам сустракаюцца іншыя азначэнні, якія адрозніваюцца ад прыведзенага выбарам каэффіцыента перад інтэгралам, а таксама знакам "+" ці "-" у паказчыку экспаненты. Пры гэтым амаль усе ўласцівасці застаюцца ранейшымі, хаця выгляд некаторых формул (у першую чаргу формул для адваротнага фур'е-пераўтварэння) можа змяніцца.

Існуюць таксама разнастайныя абагульненні фур'е-пераўтварэння.

Адваротнае пераўтварэнне

Адваротнае Фур'е-пераўтварэнне функцыі $\hat{f}$ вызначаюць як:

$f(x)=F^{-1}[\hat{f}](x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi }}\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\hat{f}(\omega )e^{ix\omega }dx.$

Уласцівасці

• Лінейнасць:

  $F[f+g]=F[f]+F[g]$

• Зрух аргумента: калі Шаблон:Math, то

  $F[h]=e^{-i\omega x_0}F[f]$

Гл. таксама

• Пераўтварэнне Гільберта
• Рад Фур’е

Спасылкі

• «Преобразование Фурье» Шаблон:Ref-ru — пераклад артыкула An Interactive Guide To The Fourier Transform | BetterExplained Шаблон:Ref-en