Пераўтварэнне Гільберта

У матэматыцы і апрацоўцы сігналаў пераўтварэнне Гільберта — лінейны аператар, які супастаўляе кожнай функцыі $u(t)$ функцыю $H(u(t))$ у той жа вобласці.

Пераўтварэнне Гільберта можа быць вызначана ў сэнсе галоўнага значэння інтэграла па Кошы:

$H(u)(t)=\frac{1}{\pi }\text{v.p.}\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{u(\tau )}{t-\tau }d\tau$

Ці, больш відавочна:

$H(u)(t)=-\frac{1}{\pi }\underset{ϵ\to 0}{\lim }\underset{ϵ}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{u(t+\tau )-u(t-\tau )}{\tau }d\tau .$

Пры двухразовым ужыванні пераўтварэння Гільберта функцыя змяняе знак:

$H(H(u))(t)=-u(t),$

пры ўмове, што абое пераўтварэнні існуюць.

Сувязь з пераўтварэннем Фур'е

Пераўтварэнне Гільберта з'яўляецца множнікам у спектральнай вобласці.

$ℱ(H(u))(\omega )=-i\mathrm{s}\mathrm{g}\mathrm{n}(\omega )\cdot ℱ(u)(\omega ),$

дзе $ℱ(f)(\omega )=\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{+\mathrm{\infty }}{\int }}f(t)e^{-i\omega t}dt$ — варыянт прамога пераўтварэння Фур'е без множніка, які нарміруе.

Зваротнае пераўтварэнне

$H^{-1}=-H$

Гл. таксама

• Лічбава-тэарэтычныя пераўтварэнні
• Пераўтварэнне Фур’е
• Пераўтварэнне Лапласа
• Пераўтварэнне Гільберта-Хуанга

Спасылкі

• Пераўтварэнне Гільберта. Аналітычны сігнал. Шаблон:Архівавана