Рад (матэматыка)

Простымі словамі, рад або шэраг — упарадкаваная сума ўсіх элементаў некаторай бесканечнай паслядоўнасці. Упарадкаванасць сумы тут азначае, што складнікі ў суме ідуць у тым жа парадку, што і ў паслядоўнасці.

Няхай $(a_n{)}_{n=1}^{\mathrm{\infty }}$ — лікавая паслядоўнасць. Фармальна злучыўшы ўсе яе паслядоўныя элементы знакам плюс (+), атрымаем выраз:

$\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{a}_n=a_1+a_2+\dots +a_n+\dots ,$

які і называецца лікавым радам са складнікамі $a_1,a_2,\dots ,a_n,\dots .$

Будзем казаць, што рад

$\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{a}_n$

мае суму, калі існуе ліміт паслядоўнасці $(s_n{)}_{n=1}^{\mathrm{\infty }}$ яго частковых сум

$s_n=a_1+a_2+\dots +a_n.$

Гэты ліміт

$s=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{s}_n$

і называецца сумай рада.

Калі сума рада ёсць лік, то такі рад называецца збежным, а ва ўсіх астатніх выпадках — разбежным.

Варта адзначыць, што ў гэтых азначэннях замест лікаў можна ўзяць элементы адвольнай прасторы, у якой вызначаны аперацыі сумы і лімітавага пераходу.

У матэматычным аналізе часцей за ўсё разглядаюцца:

• лікавыя рады, элементамі (складнікамі) ў якіх з’яўляюцца лікі (рэчаісныя і камплексныя);
• функцыянальныя рады, складнікамі ў якіх з’яўляюцца розныя функцыі;

Найважнейшае пытанне даследавання радоў — гэта іх збежнасць.

Адно з галоўных дастасаванняў лікавых радоў — набліжэнне пэўных лікаў з адвольнай дакладнасцю. Так, напрыклад, набліжаныя значэнні такіх ірацыянальных лікаў, як [[Лік e|Шаблон:Math]] і [[Пі|Шаблон:Math]], можна вылічыць з дапамогай адмысловых лікавых радоў.

Азначэнне

Няхай $\{a_i{\}}_{i=1}^{\mathrm{\infty }}$ — лікавая паслядоўнасць; разгледзім нароўні з дадзенай паслядоўнасцю паслядоўнасць

$\{s_k{\}}_{k=1}^{\mathrm{\infty }},$

кожны элемент якой прадстаўляе сабой суму некаторых элементаў зыходнай паслядоўнасці. У найбольш простым выпадку выкарыстоўваюцца звычайныя частковыя сумы выгляду

$s_k=\sum _{i=1}^k{a}_i.$

Наогул, для пазначэння рада выкарыстоўваецца знак

$\sum _{i=1}^{\mathrm{\infty }}{a}_i,$

бо тут паказана зыходная паслядоўнасць элементаў рада, а таксама правіла сумавання.

У адпаведнасці з гэтым кажуць аб збежнасці лікавага рада:

• лікавы рад збягаецца, калі збягаецца паслядоўнасць яго частковых сум;
• лікавы рад разбягаецца, калі разбягаецца паслядоўнасць яго частковых сум:
• лікавы рад збягаецца абсалютна, калі збягаецца рад з модуляў яго складнікаў.

Калі лікавы рад збягаецца, то ліміт $S$ паслядоўнасці яго частковых сум носіць назву сумы рада:

$S=\sum _{i=1}^{\mathrm{\infty }}{a}_i.$

Аперацыі над радамі

Няхай зададзены збежныя рады $\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{a}_n$ і $\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{b}_n$. Тады:

• іх сумай называецца рад $\sum (a_n+b_n);$
• іх здабыткам па Кашы называецца рад $\sum c_n$, дзе $c_n=\sum _{k=0}^n{a}_k{b}_{n-k}.$

Калі абодва рады збягаюцца, то іх сума збягаецца, калі абодва рады збягаюцца абсалютна, то іх сума збягаецца абсалютна. Калі хоць адзін з радоў збягаецца абсалютна, то здабытак радоў збягаецца.

Крытэр абсалютнай збежнасці

Лікавы (рэчаісны ці камплексны) рад $\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}{a}_k$ называецца абсалютна збежным, калі збягаецца рад $\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}|a_k|$.

Рад $\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}{a}_k$ збягаецца абсалютна тады і толькі тады, калі збягаюцца абодва дадатныя рады $b_k$ і $c_k$, дзе $a_k=b_k-c_k,\left|a_k\right|=b_k+c_k,b_k⩾0,c_k⩾0,\mathrm{\forall }k.$

Доказ.

Калі збягаецца $\sum \left|a_k\right|,$ то па прыкмеце параўнання тым больш збягаюцца $b_k$ і $c_k.$ Наадварот, калі збягаюцца $b_k$ і $c_k,$ то збягаецца і іх сума $\sum \left|a_k\right|.$

Гл. таксама

• Функцыянальны рад
• Ступенны рад
• Рад Фур’е

Літаратура

• Зверович Э. И. Вещественный и комплексный анализ. В 6 ч. Ч. 1. — Минск: Выш. шк., 2006.
• Шаблон:Кніга
• Ю. С. Богданов — «Лекции по математическому анализу» — Часть 2 — Минск — Издательство БГУ им. В. И. Ленина — 1978.
• Математическая энциклопедия. Т. 4 / Гл. ред. И. М. Виноградов. — М.: Советская энциклопедия, 1984. — стлб. 1063—1070.

Спасылкі

• Шаблон:MathWorld
• Шаблон:SpringerEOM