Ліміт паслядоўнасці

Збяганне паслядоўнасці $(a_n{)}_{n=1}^{\mathrm{\infty }}$ да ліміту Шаблон:Math

Лімі́т паслядоўнасці  — пэўная сталая велічыня, да якой прыбліжаецца значэнне элемента паслядоўнасці пры неабмежаваным нарастанні яго нумара.

Калі паслядоўнасць мае ліміт, кажуць, што яна збягаецца да свайго ліміту. У процілеглым выпадку (калі ліміту няма) кажуць, што паслядоўнасць разбягаецца.

Паняцце ліміту няяўна ўсведамлялі яшчэ ў старажытнай Грэцыі. Яскравым прыкладу можна прывесці апорыю Зянона пра Ахіла і чарапаху. Сучаснае азначэнне паняцця ліміту даў Агюстэн Луі Кашы.

Азначэнне і абазначэнні

Няхай элементы паслядоўнасці $(x_n{)}_{n=1}^{\mathrm{\infty }}$ належаць тапалагічнай прасторы Шаблон:Math.

Кажуць, што паслядоўнасць $(x_n{)}_{n=1}^{\mathrm{\infty }}$ збягаецца да свайго ліміту $a\in X$ і пішуць

$\lim {\mathrm{\backslash limits}}_{n\to \mathrm{\infty }}{x}_n=a,$

калі для любога наваколля Шаблон:Math элемента Шаблон:Math існуе такі нумар Шаблон:Math , што для ўсіх Шаблон:Math выконваецца $x_n\in U(a).$

Паслядоўнасць, якая мае канечны ліміт, называюць збе́жнай.

Калі ж паслядоўнасць не мае ліміту, кажуць, што паслядоўнасць разбягаецца, і называюць яе разбе́жнай.

Сам запіс

$\lim {\mathrm{\backslash limits}}_{n\to \mathrm{\infty }}{x}_n$

можна прачытаць, як «ліміт Шаблон:Math пры імкненні Шаблон:Math да бесканечнасці».

Ліміт лікавай паслядоўнасці

Азначэнне

Няхай $(x_n{)}_{n=1}^{\mathrm{\infty }}$ — лікавая паслядоўнасць.

Кажуць, што лікавая паслядоўнасць $(x_n{)}_{n=1}^{\mathrm{\infty }}$ збягаецца да свайго ліміту $a$ і пішуць

$\lim {\mathrm{\backslash limits}}_{n\to \mathrm{\infty }}{x}_n=a,$

калі для любога Шаблон:Math існуе такі нумар Шаблон:Math , што для ўсіх Шаблон:Math справядліва няроўнасць $|x_n-a|\le \epsilon .$

Заўвага: члены лікавай паслядоўнасці могуць быць рэчаіснымі, рацыянальнымі або камплекснымі лікамі (ці нават p-адычнымі лікамі). Ад таго, якому з гэтых бесканечных палёў належаць члены паслядоўнасці, уласцівасці ліміту такіх паслядоўнасцей значна не зменяцца.

Уласцівасці

• Тэарэма Бальцана — Ваерштраса. З кожнай абмежаванай паслядоўнасці можна вылучыць збежную падпаслядоўнасць.

Няхай існуюць ліміты $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{a}_n=a$ і $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{b}_n=b$, тады існуюць наступныя ліміты:

• ліміт сумы роўны суме лімітаў

  $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }(a_n+b_n)=a+b,$

• ліміт рознасці роўны рознасці лімітаў

  $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }(a_n-b_n)=a-b,$

• ліміт здабытку роўны здабытку лімітаў

  $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }(a_n\cdot b_n)=a\cdot b.$

• Калі $b\ne 0$, то ліміт дзелі роўны дзелі лімітаў

  $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\frac{a_n}{b_n}=\frac{a}{b}$.

• Калі $a>0$, то ліміт ступені існуе і

  $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{a}_n^{b_n}=a^b$.

Важныя прыклады

• $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\frac{1}{n}=0$
• $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\sqrt[n]{n}=1$
• $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{(1+\frac{z}{n})}^n=e^z$ для рэчаісных або камплексных лікаў Шаблон:Math.
• $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }n(a^{\frac{1}{n}}-1)=\ln a$ для рэчаісных Шаблон:Math.
• $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }(1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\cdots +\frac{1}{n}-\ln n)=\gamma$ (Сталая Ойлера — Маскероні)
• Геаметрычны рад $\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}{q}^k$ збягаецца да $\frac{1}{1-q}$ пры $|q|<1,$ і разбягаецца пры $|q|\ge 1.$
• Гарманічны рад $\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{k}$ разбягаецца.
• Знакачаргавальны гарманічны рад збягаецца $\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^{k+1}}{k}=\ln 2.$

Абагульненні

Ліміт лікавай паслядоўнасці з’яўляецца найпрасцейшым прыкладам ліміту паслядоўнасці ў метрычнай прасторы.

Няхай Шаблон:Math − метрычная прастора, г.зн. Шаблон:Math — мноствам, для элементаў якога вызначана функцыя адлегласці (або метрыка) $\rho :X\times X\to ℝ$, якая адпавядае умовам:

• Шаблон:Math, калі і толькі калі Шаблон:Math;
• Шаблон:Math;
• Шаблон:Math

для адвольных элементаў Шаблон:Math мноства Шаблон:Math.

Няхай $(x_n{)}_{n=1}^{\mathrm{\infty }}$ — паслядоўнасцю, члены якой належаць метрычнай прасторы Шаблон:Math.

Пункт $a\in X$ называюць лімітам паслядоўнасці $(x_n{)}_{n=1}^{\mathrm{\infty }}$ пры імкненні Шаблон:Math да бесканечнасці, калі для любога Шаблон:Math існуе такі нумар Шаблон:Math , што для ўсіх Шаблон:Math спраўджваецца няроўнасць $\rho (x_n,a)\le \epsilon .$

Гл. таксама

• Ліміт (матэматыка)
• Ліміт функцыі