Ліміт функцыі

Лімі́т фу́нкцыі — значэнне, да якога прыбліжаецца (імкнецца) значэнне функцыі, калі яе аргумент імкнецца да некаторага пункта (магчыма, бесканечна аддаленага). Гэта адно з першасных паняццяў матэматычнага аналізу, на якім грунтуюцца асноўныя паняцці матэматычнага аналізу: непарыўнасць, вытворная, дыферэнцыял.

Аперацыя знаходжання ліміту функцыі называецца лімітавым пераходам.

Калі функцыя Шаблон:Math мае ліміт Шаблон:Math ў пункце Шаблон:Math, гэта абазначаецца наступным чынам:

$\underset{x\to a}{\lim }f(x)=A.$

Азначэнне ліміту

(ε, δ)-азначэнне (паводле Кашы)

Калі пункт x знаходзіцца ў δ-наваколлі пункта c, значэнне f(x) знаходзіцца ў ε-наваколлі L

Лік Шаблон:Math называецца лімітам функцыі Шаблон:Math пры імкненні Шаблон:Math да Шаблон:Math, калі для любога ліку Шаблон:Math існуе такі лік Шаблон:Math, што для ўсіх Шаблон:Math, якія задавальняюць умову

$0<|x-a|<\delta ,$

справядлівая няроўнасць

$|f(x)-A|<\epsilon .$

Або, кажучы словамі, функцыя мае ліміт Шаблон:Math ў некаторым пункце, калі і толькі калі для любога Шаблон:Math можна знайсці такое наваколле гэтага пункта, у межах якога функцыя не адхіляецца ад Шаблон:Math больш чым на Шаблон:Math.

Азначэнне праз ліміт паслядоўнасці (паводле Гейнэ)

Функцыя Шаблон:Math мае ў пункце Шаблон:Math канечны ліміт Шаблон:Math, калі і толькі калі для любой паслядоўнасці $(x_n{)}_{n=1}^{\mathrm{\infty }}$, якая збягаецца да пункта Шаблон:Math:

$\lim {\mathrm{\backslash limits}}_{n\to \mathrm{\infty }}{x}_n=a,$

адпаведная паслядоўнасць ${(f(x_n))}_{n=1}^{\mathrm{\infty }}$ значэнняў функцыі збягаецца да Шаблон:Math:

$\lim {\mathrm{\backslash limits}}_{n\to \mathrm{\infty }}f(x_n)=A.$

Крытэрыі і прыкметы існавання канечнага ліміту

Крытэрый Кашы існавання канечнага ліміту

Функцыя Шаблон:Math мае ў пункце Шаблон:Math канечны ліміт, калі і толькі калі для адвольнага Шаблон:Math існуе такое Шаблон:Math, што для любых Шаблон:Math і Шаблон:Math, узятых з δ-наваколля пункта Шаблон:Math, спраўджваецца няроўнасць

$|f(x_1)-f(x_2)|<\epsilon .$

Заўвага: Крытэрый Кашы адрозніваецца ад азначэння паводле Кашы тым, што ў крытэрыі ніяк не ўдзельнічае значэнне ліміту. Крытэрый толькі сцвярджае існаванне ліміту, але нічога не кажа пра само лімітнае значэнне.

Уласцівасці

Калі існуюць канечныя ліміты $\underset{x\to a}{\lim }f(x)$ і $\underset{x\to a}{\lim }g(x)$, тады справядлівыя сцвярджэнні:

1) Лімітавы пераход з’яўляецца лінейнай аперацыяй. Гэта значыць для адвольных лікаў Шаблон:Math і Шаблон:Math існуе ліміт лінейнай камбінацыі

$\lim {\mathrm{\backslash limits}}_{x\to a}(\lambda f(x)+\mu g(x))=\lambda \lim {\mathrm{\backslash limits}}_{x\to a}f(x)+\mu \lim {\mathrm{\backslash limits}}_{x\to a}g(x).$

Заўвага: з гэтай уласцівасці непасрэдна вынікаюць наступныя роўнасці:

$\begin{array}{cccc}\lim {\mathrm{\backslash limits}}_{x\to a}& (f(x)+g(x))& =& \lim {\mathrm{\backslash limits}}_{x\to a}f(x)+\lim {\mathrm{\backslash limits}}_{x\to a}g(x),\\ \lim {\mathrm{\backslash limits}}_{x\to a}& (f(x)-g(x))& =& \lim {\mathrm{\backslash limits}}_{x\to a}f(x)-\lim {\mathrm{\backslash limits}}_{x\to a}g(x).\end{array}$

2) Існуе ліміт здабытку гэтых функцый, прычым:

$\lim {\mathrm{\backslash limits}}_{x\to a}(f(x)\cdot g(x))=\lim {\mathrm{\backslash limits}}_{x\to a}f(x)\cdot \lim {\mathrm{\backslash limits}}_{x\to a}g(x).$

3) Калі $\underset{x\to a}{\lim }g(x)\ne 0$, то існуе ліміт дзелі, прычым:

$\lim {\mathrm{\backslash limits}}_{x\to a}\frac{f(x)}{g(x)}=\frac{\lim {\mathrm{\backslash limits}}_{x\to a}f(x)}{\lim {\mathrm{\backslash limits}}_{x\to a}g(x)}.$

4) Калі Шаблон:Math і $\underset{x\to a}{\lim }f(x)\ne 0$, то існуе ліміт ступені, прычым:

$\lim {\mathrm{\backslash limits}}_{x\to a}(f(x{)}^{g(x)})={(\lim {\mathrm{\backslash limits}}_{x\to a}f(x))}^{\lim {\mathrm{\backslash limits}}_{x\to a}g(x)}.$

Гл. таксама

• Аднабаковы ліміт функцыі
• Ліміт у матэматыцы
• Ліміт паслядоўнасці