Формула Стырлінга

У матэматыцы формула СтырлінгаШаблон:Sfn (таксама формула Муаўра — Стырлінга) — формула для прыбліжанага вылічэння фактарыяла і гама-функцыі. Названа ў гонар Джеймса Стырлінга і Абрахама дэ Муаўра, апошні лічыцца аўтарам формулы.^[1]

Найбольш ужывальны варыянт формулы:

\ln Γ (n + 1) = \ln n! = n \ln n - n + O (\ln (n))

Наступны член у O(log(n)) — гэта Шаблон:Дробln(2πn); такім чынам больш дакладнае прыбліжэнне:

\lim_{n \to \infty} \frac{n!}{\sqrt{2 π n} {(\frac{n}{e})}^{n}} = 1,

што раўназначна

n! \sim \sqrt{2 π n} {(\frac{n}{e})}^{n} .

Формула Стырлінга з’яўляецца першым прыбліжэннем пры раскладанні фактарыяла ў рад Стырлінга:

\begin{matrix} n! & \sim \sqrt{2 π n} {(\frac{n}{e})}^{n} (1 + \frac{1}{12 n} + \frac{1}{288 n^{2}} - \frac{139}{51840 n^{3}} - \frac{571}{2488320 n^{4}} + \dots) \\ = \sqrt{2 π n} {(\frac{n}{e})}^{n} (1 + \frac{1}{(2^{1}) (6 n)^{1}} + \frac{1}{(2^{3}) (6 n)^{2}} - \frac{139}{(2^{3}) (2 \cdot 3 \cdot 5) (6 n)^{3}} - \\ - \frac{571}{(2^{6}) (2 \cdot 3 \cdot 5) (6 n)^{4}} + \dots) . \end{matrix}

Літаратура

↑ Шаблон:Citation: «Стырлінг толькі паказаў, што арыфметычная сталая ў формуле Муаўра роўная $\sqrt{2 π}$ . Я лічу, што гэта не робіць яго аўтарам тэарэмы».