Тапалагічная прастора

Шаблон:Універсальная картка Тапалагі́чная прасто́раШаблон:SfnШаблон:Sfn — мноства з дадатковай структурай пэўнага тыпу (так званай тапалогіяй); з’яўляецца адным з асноўных аб’ектаў (разам с непарыўнымі адлюстраваннямі) вывучэння раздзела матэматыкі пад назвай тапалогія.

Гістарычна, паняцце тапалагічнага прасторы з’явілася як абагульненне метрычнай прасторы, якая у сваю чаргу абагульняе паняцці геаметрычнай прасторы і фігур.

Заданне тапалагічнай структуры, або тапалогіі, на мностве дае выразны матэматычны сэнс блізкасці, аддаленасці, аддзялення яго элементаў без выкарыстання лікавай велічыні адлегласці паміж імі.

У сучаснае вызначэнне структуры тапалагічнай прасторы увайшоў мінімальны набор уласцівасцяў сістэмы метрычных наваколляў, дастатковы для вызначэння такіх паняццяў, як непарыўнасць, звязнасць і, ў большасці выпадкаў, сыходнасць ў самых агульных сітуацыях, калі метрычныя паняцці могуць быць ўжо непрыдатнымі.

Акрамя агульных выпадкаў, калі задаць адлегласць паміж пунктамі немагчыма, выкарыстанне тапалагічнай мовы часта спрашчае разважанні і аб метрычных прасторах, у тых выпадках, калі яны не залежаць ад канкрэтных лікавых значэнняў адлегласці.

Уласцівасці, якія залежаць толькі ад тапалагічнай структуры на мностве, называюцца тапалагічнымі уласцівасцямі і вывучаюцца ў раздзеле агульная тапалогія. Спалучэнне тапалагічнай структуры з іншымі структурамі, ці спецыфікацыя яе дадатковымі абмежаваннямі, прыводзіць да вылучэння розных другіх відаў уласцівасцяў, якія вывучаюцца ў іншых раздзелах тапалогіі ці сумежных дысцыплін.

Вызначэнне

Няхай дадзена мноства $X$ . Сістэма $𝒯$ яго падмноств называецца тапалогіяй на $X$, калі выкананы наступныя ўмовы:

1. Аб’яднанне адвольнага сямейства мностваў, якія належаць $𝒯$, належыць $𝒯$. Гэта значыць, што калі $U_{\alpha }\in 𝒯\mathrm{\forall }\alpha \in A$, то $\bigcup _{\alpha \in A}{U}_{\alpha }\in 𝒯$.
2. Перасячэнне канечнага сямейства мностваў, якія належаць $𝒯$ , належыць $𝒯$. Гэта значыць, што калі $U_i\in 𝒯i=1,\dots ,n$, то $\bigcap _{i=1}^n{U}_i\in 𝒯$.
3. $X,\varnothing \in 𝒯$.

Пара $(X,𝒯)$ называецца тапалагічнай прасторай. Мноства, якія належаць $𝒯$, называюцца адкрытымі мноствамі. Элементы мноства $X$, на якім зададзена тапалогія, называюцца, як ў геаметрыі, пунктамі.

Літаратура

• Шаблон:Крыніцы/БелЭн
• Шаблон:Крыніцы/МатЭн (2001)
• Шаблон:Крыніцы/МатЭС
• Киселев А. Д., Мирошниченко Г. П., Трифанов А. И., Трифанова Е. С. Топология многообразий. Конспект лекций — СПб.: Университет ИТМО, 2019. — 51 с.Шаблон:Ref-ru