Цэлы алгебраічны лік

Цэлымі алгебраічнымі лікамі называюцца камплексныя (і ў прыватнасці рэчаісныя) карані мнагачленаў з цэлымі каэфіцыентамі і са старшым каэфіцыентам, роўным адзінцы.

Адносна складання і множання камплексных лікаў, цэлыя алгебраічныя лікі ўтвараюць колца $\mathrm{\Omega }$. Відавочна, $\mathrm{\Omega }$ з'яўляецца падколцам поля алгебраічных лікаў і ўтрымлівае ўсе звычайныя цэлыя лікі.

Няхай $u$ — некаторы камплексны лік. Разгледзім колца $\mathbb{Z}[u]$, спароджанае добаўленнем $u$ да колца звычайных цэлых лікаў $\mathbb{Z}$. Яно ўтворана ўсімі магчымымі значэннямі $f(u)$, дзе $f(z)$ — мнагачлен з цэлымі каэфіцыентамі. Тады спраўджваецца наступны крытэрый: лік $u$ з'яўляецца цэлым алгебраічным лікам тады і толькі тады, калі $\mathbb{Z}[u]$ — канечнапароджаная абелева група.

Прыклады цэлых алгебраічных лікаў

• Гаусавы цэлыя лікі.
• Карані з адзінкі — карані мнагачлена $x^n-1$ над полем камплексных лікаў.

Уласцівасці

• Усе рацыянальныя лікі, якія ўваходзяць у $\mathrm{\Omega }$, з'яўляюцца на справе цэлымі лікамі. Інакш кажучы, ні адзін нескарачальны дроб $m/n$ з назоўнікам, большым за адзінку, цэлым алгебраічным лікам быць не можа.
• Для кожнага алгебраічнага ліку $u$ існуе натуральны лік $n$ такі, што $nu$ — цэлы алгебраічны лік.
• Корань любой ступені з цэлага алгебраічнага ліку таксама з'яўляецца цэлым алгебраічным лікам.

Гісторыя

Тэорыю цэлых алгебраічных лікаў стварылі ў XIX стагоддзі Гаус, Якобі, Дэдэкінд, Кумер і іншыя. Цікавасць да яе, сярод іншага, выклікана тым, што гістарычна гэта структура аказалася першай у матэматыцы, дзе было выяўлена неадназначнае раскладанне на простыя множнікі. Класічныя прыклады пабудаваў Кумер; скажам, у падколцы алгебраічных лікаў віду $a+b\sqrt{-5}$ маюць месца 2 раскладанні:

$6=2\cdot 3=(1+\sqrt{-5})\cdot (1-\sqrt{-5}),$

прычым у абодвух выпадках усе множнікі — простыя, г. зн. не раскладаюцца ў гэтым падколцы.

Даследаванне гэтае праблемы прывяло да адкрыцця важных паняццяў ідэала і простага ідэала, у структуры якіх раскладанне на простыя множнікі можна вызначыць адназначна.

Літаратура

• К. Айерлэнд, М. Роузен. Классическое введение в современную теорию чисел. Перевод с английского С. П. Демушкина под редакцией А. Н. Паршина. М.: Мир, 1987, глава 6.
• Боревич З. И., Шафаревич И. P. Теория чисел.Шаблон:Недаступная спасылка М., 1964.
• Ван дер Варден Б. Л. Алгебра.Шаблон:Недаступная спасылка М.: Мир, 1975, глава 17: Целые алгебраические элементы.
• Гекке Э. Лекции по теории алгебраических чисел, пер. с нем., М. — Л., 1940.
• Гельфонд А. О. Трансцендентные и алгебраические числа, М., 1952.
• Постников М. М. Введение в теорию алгебраических чисел