Няроўнасць трохвугольніка

Няро́ўнасць тро́хвуго́льніка ў геаметрыі, функцыянальным аналізе і сумежных дысцыплінах — адна з інтуітыўных уласцівасцей адлегласці. Яна сцвярджае, што даўжыня любой стараны трохвугольніка заўсёды не перавышае сумы даўжынь яго іншых старон. Няроўнасць трохвугольніка ўключаецца як аксіёма ў азначэнне метрычнай прасторы, нормы і г.д.; таксама, часта з'яўляецца тэарэмаю ў розных тэорыях.

Еўклідава геаметрыя

Даўжыня любой стараны трохвугольніка не перавышае сумы даўжынь дзвюх астатніх.

Няхай ёсць трохвугольнік $Δ A B C .$ Тады $| A C | ⩽ | A B | + | B C |,$ прычым роўнасць $| A C | = | A B | + | B C |$ дасягаецца толькі тады, калі трохвугольнік выраджаны, і пункт $B$ ляжыць строга паміж $A$ і $C$ .

Еўклід у Пачатках даказвае няроўнасць трохвугольніка наступным чынам. Спачатку даказваецца тэарэма, што знешні вугал трохвугольніка большы за ўнутраны вугал, з ім не сумежны. З яе выводзіцца тэарэма аб тым, што насупраць большай стараны трохвугольніка ляжыць большы ўнутраны вугал. Далей, метадам ад процілеглага даказваецца тэарэма аб тым, што насупраць большага ўнутранага вугла трохвугольніка ляжыць большая старана. А з гэтай тэарэмы выводзіцца няроўнасць трохвугольніка.

Нармаваная прастора

Няхай $(X, ‖ \cdot ‖)$ — нармаваная вектарная прастора, дзе $X$ — адвольнае мноства, а $‖ \cdot ‖$ — вызначаная на $X$ норма. Тады па азначэнню апошняй справядліва:

‖ x + y ‖ ⩽ ‖ x ‖ + ‖ y ‖, \forall x, y \in X .

Гільбертава прастора

У гільбертавай прасторы, няроўнасць трохвугольніка з'яўляецца вынікам няроўнасці Кашы — Бунякоўскага.

Метрычная прастора

Няхай $(X, ρ)$ — метрычная прастора, дзе $X$ — адвольнае мноства, а $ρ$ — вызначаная на $X$ метрыка. Тады па азначэнню апошняй

ρ (x, y) ⩽ ρ (x, z) + ρ (z, y), x, y, z \in X .

Варыяцыі і абагульненні

Моцная няроўнасць трохвугольніка
$d (x, z) ⩽ \max (d (x, y), d (y, z))$

Адваротная няроўнасць трохвугольніка

Вынікам няроўнасці трохвугольніка ў нармаванай і метрычнай прасторах з'яўляюцца наступныя няроўнасці:

$| ‖ x ‖ - ‖ y ‖ | ⩽ ‖ x - y ‖, x, y \in X;$
$| ρ (x, y) - ρ (x, z) | ⩽ ρ (y, z), x, y, z \in X .$