Няроўнасць Кашы — Бунякоўскага

Няроўнасць Кашы́ — Буняко́ўскага звязвае норму і скалярны здабытак вектараў у еўклідавай прасторы. Гэта няроўнасць раўназначная няроўнасці трохвугольніка для нормы.

Няроўнасць Кашы — Бунякоўскага часам, асабліва ў замежнай літаратуры, называюць няроўнасцю Шварца і няроўнасцю Кашы — Бунякоўскага — Шварца («няроўнасць КБШ»), хаця працы Шварца на гэту тэму паявіліся толькі праз 25 гадоў пасля прац Бунякоўскага. Канечнамерны выпадак гэтай няроўнасці называецца няроўнасцю Кашы і быў даказан Агюстэнам Кашы ў 1821 годзе.

Фармулёўка

Няхай $L$ - лінейная прастора са скалярным здабыткам $⟨x,y⟩$. Няхай $\Vert x\Vert$ — норма, спароджаная скалярным здабыткам, г.зн. $\Vert x\Vert \equiv \sqrt{⟨x,x⟩},\mathrm{\forall }x\in L$. Тады для любых $x,y\in L$ маем:

$|⟨x,y⟩|⩽\Vert x\Vert \cdot \Vert y\Vert ,$

прычым роўнасць дасягаецца тады і толькі тады, калі вектары $x$ і $y$ прапарцыянальныя (калінеарныя).

Каментарыі

У канечнамерным выпадку можна заўважыць, што $\Vert x{\Vert }^2\Vert y{\Vert }^2-⟨x,y{⟩}^2=S(x,y{)}^2$, дзе $S(x,y)$ — плошча паралелаграма, нацягнутага на вектары $x$ і $y$.

У агульным выпадку:

$\Vert x{\Vert }^2-\frac{⟨x,y{⟩}^2}{\Vert y{\Vert }^2}={\Vert x-\frac{⟨x,y⟩}{\Vert y{\Vert }^2}y\Vert }^2.$

Прыклады

• У прасторы камплексназначных квадратычна складальных паслядоўнасцей $l^2$ няроўнасць Кашы — Бунякоўскага мае від:

${\left|\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}{x}_k{\overline{y}}_k\right|}^2⩽(\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}|x_k{|}^2)\cdot (\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}|y_k{|}^2),$

дзе ${\overline{y}}_k$ абазначае камплекснае спалучэнне $y_k$.

• У прасторы камплексных квадратычна інтэгравальных функцый $L^2(X,ℱ,\mu )$ няроўнасць Кашы — Бунякоўскага мае від:

${|\underset{X}{\int }f(x)\overline{g(x)}\mu (dx)|}^2⩽(\underset{X}{\int }{|f(x)|}^2\mu (dx))\cdot (\underset{X}{\int }{|g(x)|}^2\mu (dx)).$

• У прасторы выпадковых велічынь з канечным другім момантам $L^2(\mathrm{\Omega },ℱ,\mathbb{P})$ няроўнасць Кашы — Бунякоўскага мае від:

  ${\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{v}}^2(X,Y)⩽\mathrm{D}[X]\cdot \mathrm{D}[Y],$

дзе $\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{v}$ абазначае каварыяцыю, а $\mathrm{D}$ — дысперсію.

Доказ

• Калі $⟨x,y⟩\in ℝ,$ то $\mathrm{\forall }\lambda \in ℝ$ справядліва наступнае

$0⩽⟨\lambda x+y,\lambda x+y⟩={\lambda }^2⟨x,x⟩+2\lambda ⟨x,y⟩+⟨y,y⟩.$

Значыць дыскрымінант мнагачлена ${\lambda }^2⟨x,x⟩+2\lambda ⟨x,y⟩+⟨y,y⟩$ недадатны, г.зн.

$D=(2⟨x,y⟩{)}^2-4⟨x,x⟩⟨y,y⟩⩽0.$

Такім чынам,

$|⟨x,y⟩|⩽\Vert x\Vert \cdot \Vert y\Vert .$

• Калі $Im⟨x,y⟩\ne 0,$ то прадставім скалярны здабытак у трыганаметрычным выглядзе $⟨x,y⟩=r{e}^{i\varphi }.$

Вызначым вектар $z=e^{-i\varphi }x.$ Тады

$⟨z,y⟩=e^{-i\varphi }⟨x,y⟩=r=|⟨x,y⟩|\in ℝ$ і

$⟨z,z⟩=e^{-i\varphi }⟨x,e^{-i\varphi }x⟩=e^{-i\varphi }{e}^{i\varphi }⟨x,x⟩=⟨x,x⟩$

Да скалярнага здабытку $⟨z,y⟩\in ℝ$ прыменім вынік першага пункта доказу.

$|⟨x,y⟩|=r=⟨z,y⟩⩽\Vert z\Vert \cdot \Vert y\Vert =\Vert x\Vert \cdot \Vert y\Vert$