Моманты выпадковай велічыні

Момант выпадковай велічыні — лікавая характарыстыка размеркавання выпадковай велічыні.

Азначэнне

Момантам парадку $k$ выпадковай велічыні $X$ адносна пункта $a\in ℝ$ завецца лік

${\nu }_k(a):=𝔼[(X-a{)}^k],$

дзе $𝔼$ — матэматычнае спадзяванне. Кажуць, што момант існуе, калі існуе матэматычнае спадзяванне ў правай частцы роўнасці. Інакш кажуць, што момант не існуе.

Калі $a=0$ момант завецца пачатковым, а пры $a=𝔼[X]$ — цэнтральным.

Абсалютным момантам завецца

$m_k(a):=𝔼[|X-a{|}^k],$

$k$-м фактарыяльным момантам выпадковай велічыні $X$ называецца велічыня

${\mu }_k=𝔼[X(X-1)...(X-k+1)],$

калі матэматычнае спадзяванне ў правай частцы гэтай роўнасці існуе.

Для выпадковых вектараў існуе таксама паняцце змяшанага моманта. Велічыня $𝔼[X_1^{k_1}{X}_2^{k_2}\dots X_n^{k_n}]$ завецца змяшаным пачатковым момантам, а $𝔼[(X_1-𝔼[X_1]{)}^{k_1}(X_2-𝔼[X_2]{)}^{k_2}\dots (X_n-𝔼[X_n]{)}^{k_n}]$ — змяшаным цэнтральным момантам парадку $k=k_1+k_2+\dots k_n$.

Прыклады

Матэматычнае спадзяванне

Шаблон:Main Першы пачатковы момант ${\nu }_1(0)$ ёсць матэматычным спадзяваннем выпадковай велічыні.

Дысперсія

Шаблон:Main Другі цэнтральны момант ${\nu }_2(𝔼[X])$ завецца дысперсіяй выпадковай велічыні $X.$

Дысперсія — мінімальнае значэнне моманту другога парадку ${\nu }_2(a),$ якое дасягаецца ў пункце $a=𝔼[X]$Шаблон:Sfn.

Моманты другога парадку запісваюцца праз дысперсію як ${\nu }_2(a)=Var(X)+(E[X]-a{)}^2.$

Уласцівасці

• Калі існуе момант $k$-га парадку, то існуюць і ўсе моманты ніжэйшых парадкаў $1⩽k^{\prime }<k$.
• У сілу лінейнасці матэматычнага спадзявання цэнтральныя моманты можна запісаць праз пачатковыя, і наадварот. Напрыклад:

${\mu }_1=0,$

${\mu }_2={\nu }_2-{\nu }_1^2,$

${\mu }_3={\nu }_3-3{\nu }_1{\nu }_2+2{\nu }_1^3,$

${\mu }_4={\nu }_4-4{\nu }_1{\nu }_3+6{\nu }_1^2{\nu }_2-3{\nu }_1^4,$

${\mu }_n=\sum _{k=0}^n(-1{)}^{n-k}{C}_n^k{\nu }_k{\nu }_1^{n-k},$

дзе ${\mu }_n$ — цэнтральны момант, а ${\nu }_n$ — пачатковы момант парадку $n$.

Літаратура

• Шаблон:Кніга
• Шаблон:Кніга