Адлюстроўваючая функцыя

Адлюстроўваючая функцыя (Шаблон:Lang-ru) — функцыя, якая злучае мінулы стан сістэмы з яе будучым станам у сіметрычны момант часу. Паняцце адлюстроўваючай функцыі ўведзена Уладзімірам Іванавічам Міроненкам.

Дэфініцыя

Хай $\phi (t;t_0,x)$ ёсць агульнае рашэнне у форме Кашы сістэмы дыферэнцыяльных раўнанняў $\dot{x}=X(t,x),$ рашэнні якой адназначна вызначаюцца сваімі пачатковымі дадзенымі. Адлюстроўваючая функцыя гэтай сістэмы вызначаецца формулай $F(t,x)=\phi (-t;t,x).$

Ужыванне

Для $2\omega$-перыядычнай па зменнай $t$ сістэмы дыферэнцыяльных раўнанняў з адлюстроўваючай функцыяй $F(t,x)$ адлюстраванне $\mathrm{\Pi }(x)$ за перыяд $[-\omega ;\omega ]$ (адлюстраванне Пуанкарэ) знаходзіцца па формуле $\mathrm{\Pi }(x)=F(-\omega ,x).$ Таму веданне адлюстроўваючай функцыі дазваляе знаходзіць пачатковыя дадзеныя $(\omega ,x_0)$ для $2\omega$-перыядычных рашэнняў $\phi (t;-\omega ,x_0)$ разглядваемай сістэмы і даследаваць гэтыя рашэнні на устойлівасць па Ляпунову. Адлюстроўваючая функцыя $F(t,x)$ сістэмы $\dot{x}=X(t,x)$ задавальняе так званым асноўным суадносінам

$F_t+F_{x}X+X(-t,F)=0,$ $F(0,x)=x.$

З дапамогай гэтых суадносін усталёўваецца, што для шматлікіх неінтэгруемых у квадратурах сістэм дыферэнцыяльных раўнанняў адлюстраванне $\mathrm{\Pi }(x)$ за перыяд $[-\omega ;\omega ]$ можа быць знойдзена нават праз элементарныя функцыі. У гэтым адлюстроўваючая функцыя можа быць супастаўлена з інтэгравальным множнікам.

Адлюстроўваючая функцыя выкарыстоўваецца пры даследаванні пытанняў існавання і ўстойлівасці перыядычных рашэнняў краявых задач для сістэм дыферэнцыяльных раўнанняў.

Літаратура

• Мироненко В. И. Отражающая функция и периодические решения дифференциальных уравнений. — Минск, Университетское, 1986. — 76 с.
• Мироненко В. И. Отражающая функция и исследование многомерных дифференциальных систем. — Гомель: Мин. образов. РБ, ГГУ им. Ф. Скорины, 2004. — 196 с.

Спасылкі

• Сайт пра адлюстроўваючую функцыю (анг., рас.)
• How to construct equivalent differential systems Шаблон:Архівавана