Артаганальная група

Артаганальная група — група ўсіх лінейных пераўтварэнняў $n$ -мернай вектарнай прасторы $V$ над полем $k$ , якія захоўваюць фіксаваную невыраджаную квадратычную форму $Q$ на $V$ (гэта значыць такіх лінейных пераўтварэнняў $φ$ , што $Q (φ (v)) = Q (v)$ для любога $v \in V$ ).

Абазначэнні і звязаныя вызначэнні

Элементы артаганальнай групы называюцца артаганальнымі (адносна $Q$ ) пераўтварэннямі $V$ , а таксама аўтамарфізмамі формы $Q$ (дакладней, аўтамарфізмамі прасторы $V$ адносна формы $Q$ ).
Абазначаецца $O_{n}$ , $O_{n} (k)$ , $O_{n} (Q)$ і т. п. Калі квадратычная форма не абазначана відавочна, то маецца на ўвазе форма, якая задаецца сумай квадратаў каардынат, г. зн. якая выражаецца адзінкавай матрыцай.
Над полем рэчаісных лікаў, артаганальная група незнакавызначай формы з сігнатурай ( $l$ плюсаў, $m$ мінусаў) дзе $n = l + m$ , абазначаецца O( $l$ , $m$ .

У выпадку, калі характарыстыка асноўнага поля больш за два, то з $Q$ звязана невыраджаная сіметрычная білінейная форма $F$ на $V$ , якая выражаецца формулай

Тады артаганальная група складаецца ў дакладнасці з тых лінейных пераўтварэнняў прасторы

V

, якія захоўваюць

F

, і абазначаецца праз

O_{n} (k, F)

або (калі ясна аб якім полі

k

і форме

F

ідзе гаворка) проста праз

O_{n}

.

Калі $B$ — матрыца формы $F$ ў нейкім базісе прасторы $V$ , то артаганальная група можа быць атаясамлена з групай ўсіх такіх матрыц $A$ з каэфіцыентамі ў $k$ , што

$A^{T} B A = B .$

У прыватнасці, калі базіс такі, што $Q$ з'яўляецца сумай квадратаў каардынат (гэта значыць, матрыца $B$ адзінкавая), то такія матрыцы $A$ называюцца артаганальнымі.

Над полем рэчаісных лікаў, група $O_{n} (ℝ, V)$ кампактная тады і толькі тады, калі форма $Q$ знакавызначана.

Артаганальная група з'яўляецца падгрупай поўнай лінейнай групы GL( $n$ ). Элементы артаганальнай групы, вызначнік якіх роўны 1 (гэта ўласцівасць не залежыць ад базісу), утвараюць падгрупу — спецыяльную артаганальную групу $S O (n, Q)$ , якая абазначае гэтак жа як і артаганальную групу але з даданнем літары «S». $S O (n, Q)$ , па пабудове, з'яўляецца таксама падгрупай спецыяльнай лінейнай групы $S L (n)$ .