Асімптота

Асімпто́та (ад ст.-грэч. ἀσύμπτωτος — несупадальная, не датычная крывой з бесканечнай галіной) — прамая, якая валодае той уласцівасцю, што адлегласць ад пункта крывой да гэтай прамой імкнецца да нуля пры аддаленні пункта ўздоўж галіны ў бесканечнасць.

Фармальна прамая называецца асімптотай графіка функцыі $f$, калі адлегласць ад пункта $M$, які належыць графіку, да гэтай прамой імкнецца да $0$.

Віды асімптот

Існуюць 3 віды асімптот: вертыкальныя, гарызантальныя і нахільныя.

Вертыкальная асімптота

Калі $\underset{x\to x_0}{\lim }f(x)=\mathrm{\infty }$, то прамая $x=x_0$ — вертыкальная асімптота.

$\underset{x\to x_0}{\lim }f(x)=-\mathrm{\infty }$ — ніжняя вертыкальная асімптота.

$\underset{x\to x_0}{\lim }f(x)=+\mathrm{\infty }$ — верхняя вертыкальная асімптота.

Гарызантальная асімптота

Калі існуе канцавы $\underset{x\to -\mathrm{\infty }(+\mathrm{\infty })}{\lim }f(x)=A$, то прамая $y=A$ гарызантальная правая (левая) асімптота.

Нахільная асімптота

Графік функцыі $x\mathrm{arctg}x$ з двума нахільнымі асімптотамі

Няхай крывая $y=f(x)$ мае нахільную асімптоту $y=kx+b$. Каб знайсці яе, патрэбна ведаць $k$ i $b$.

Паводле азначэння асімптоты функцыі, адлегласць паміж пунктам $M$ крывой $y=f(x)$ і прамой $y=kx+b$ імкнецца да $0$, калі $x\to \mathrm{\infty }$.

Калі $\underset{x\to \mathrm{\infty }}{\lim }(f(x)-(kx+b))=0$, то прамая $y=kx+b$ з’яўляецца нахіленай асімптотай крывой $y=f(x)$.

З папярэдняга азначэння і $\underset{x\to \mathrm{\infty }}{\lim }\frac{1}{x}=0$ вынікае, што:

$\underset{x\to \mathrm{\infty }}{\lim }(\frac{f(x)}{x}-k-\frac{b}{x})=0\Rightarrow \underset{x\to \mathrm{\infty }}{\lim }\frac{f(x)}{x}=k.$

А таксама вынікае, што:

$\underset{x\to \mathrm{\infty }}{\lim }(f(x)-kx)=b.$

Заўвага 1: Асімптатычныя змяненні функцыі могуць быць рознымі, калі $x\to +\mathrm{\infty }$ або $x\to -\mathrm{\infty }$. Менавіта таму патрэбна разглядаць абодва выпадкі.

Напрыклад, разгледзім асімптоты функцыі $f(x)=x\mathrm{arctg}x$. Будзем шукаць нахільныя асімптоты $y=kx+b$, калі $x\to \pm \mathrm{\infty }$.

$k_1=\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{\lim }\frac{x\mathrm{arctg}x}{x}=\frac{\pi }{2};$

$b_1=\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{\lim }x(\mathrm{arctg}x-\frac{\pi }{2})=(\mathrm{\infty }\cdot 0)=\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{\lim }\frac{\mathrm{arctg}x-\frac{\pi }{2}}{\frac{1}{x}}=-\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{\lim }\frac{x^2}{1+x^2}=-1.$

$k_2=\underset{x\to -\mathrm{\infty }}{\lim }x\mathrm{arctg}x=-\frac{\pi }{2};$

$b_2=\underset{x\to -\mathrm{\infty }}{\lim }(x\mathrm{arctg}x+\frac{\pi }{2})=-1.$

Такім чынам, прамыя $y=\frac{\pi x}{2}-1$ i $y=-\frac{\pi x}{2}-1$ — нахільныя асімптоты.

Заўвага 2: Калі функцыя — алгебраічны дроб выгляду $\frac{f(x)}{g(x)}$, дзе $f(x)$ i $g(x)$ — мнагасклады, тады, калі ступень лічніка толькі на адзінку больш за ступень назоўніка, то графік функцыі мае нахільную асімптоту, калі ж ступень лічніка не больш за ступень назоўніка, то — гарызантальную асімптоту.

Літаратура

• Гуло І. М., Шалік Э. У., Ражко А. К. Дыферэнцыяльнае злічэнне функцыі адной зменнай: вучэб.-метад. дапам., Мінск: БДПУ, 2011.