Бісектрыса

Бісектры́са (ад Шаблон:Lang-la «двайное», і sectio «разразанне») вугла — прамень, які пачынаецца ў вяршыні вугла і дзеліць яго на два роўныя вуглы. Бісектрыса вугла — геаметрычнае месца пунктаў унутры вугла, роўнааддаленых ад старон вугла.

У трохвугольніку пад бісектрысаю вугла разумеюць адрэзак бісектрысы гэтага вугла да яе перасячэння з процілеглаю стараною трохвугольніка.

Уласцівасці

Пабудова бісектрысы

• Тэарэма аб бісектрысе: Бісектрыса ўнутранага вугла трохвугольніка дзеліць процілеглую старану ў адносіне, роўнай дзелі двух прылеглых старон.
• Бісектрысы ўнутраных вуглоў трохвугольніка перасякаюцца ў адным пункце — інцэнтры — цэнтры упісанай у гэты трохвугольнік акружнасці.
• Бісектрысы аднаго ўнутранага і двух вонкавых вуглоў трохвугольніка перасякаюцца ў адным пункце. Гэты пункт — цэнтр аднае з трох пазаўпісаных акружнасцей гэтага трохвугольніка.
• Асновы бісектрыс двух унутраных і аднаго вонкавага вуглоў трохвугольніка ляжаць на адной прамой, калі бісектрыса вонкавага вугла не паралельная процілеглай старане трохвугольніка.
• Калі бісектрысы вонкавых вуглоў трохвугольніка не паралельныя процілеглым старанам, то іх асновы ляжаць на адной прамой.
• Калі ў трохвугольніку дзве бісектрысы роўныя, то трохвугольнік — раўнабедраны (тэарэма Штэйнера — Лемуса).
• Пабудова трохвугольніка па трох вызначаных бісектрысах з дапамогаю цыркуля і лінейкі немагчымая, прычым нават пры наяўнасці трысектара.
• У раўнабедраным трохвугольніку бісектрыса вугла, процілеглага аснове трохвугольніка, з'яўляецца медыянаю і вышынёю.

Даўжыня бісектрыс у трохвугольніку

Бісектрыса трохвугольніка ABC

Вывесці ніжэйпрыведзеныя формулы можна з дапамогаю тэарэмы Сцюарта.

$l_c=\frac{\sqrt{ab(a+b+c)(a+b-c)}}{a+b}$

$l_c=\sqrt{ab-a_l{b}_l}$

$l_c=\frac{2ab\cos \frac{\gamma }{2}}{a+b}$

$l_c=\frac{h_c}{\cos \frac{\alpha -\beta }{2}}$

дзе:

• $l_c$ — даўжыня бісектрысы, праведзенай к старане $c$,
• $a,b,c$ — стораны трохвугольніка насупраць вяршынь $A,B,C$ адпаведна,
• $p$ — паўперыметр трохвугольніка,
• $a_l,b_l$ — даўжыні адрэзкаў, на якія бісектрыса $l_c$ дзеліць старану $c$,
• $\alpha ,\beta ,\gamma$ — унутраныя вуглы трохвугольніка пры вяршынях $A,B,C$ адпаведна,
• $h_c$ — вышыня трохвугольніка, апушчаная на старану $c$.

Мнеманічнае правіла

Бісектрыса — гэта рыса, што выходзіць з самага вугла і дзеліць вугал роўненька на два.

Літаратура

• Коган Б. Ю. Приложение механики к геометрии. М.: Наука. 1965. 56 с.
• Понарин Я. П. Элементарная геометрия. В 2 тт. — М.: МЦНМО, 2004. — С. 30-31. — ISBN 5-94057-170-0