Група Пуанкарэ

Група Пуанкарэ (неаднастайная група Лорэнца) — група рухаў прасторы Мінкоўскага, якая супадае з групай ўсіх рэчаісных пераўтварэнняў 4-вектараў $x=x^{\mu }=\{x^0,x^1,x^2,x^3\}$ выгляду $x{\text{'}}^{\mu }={\mathrm{\Lambda }}_{\nu }^{\mu }{x}^{\nu }+a^{\mu }$, дзе $\mathrm{\Lambda }$ — пераўтварэнне з групы Лорэнца, $a^{\nu }$ — 4-вектар зрушэння (трансляцыі). Элемент групы Пуанкарэ звычайна абазначаецца $\{a,\mathrm{\Lambda }\}$, а закон кампазіцыі мае выгляд

$\{a_1,{\mathrm{\Lambda }}_1\}\{a_2,{\mathrm{\Lambda }}_2\}=\{a_1+{\mathrm{\Lambda }}_1{a}_2,{\mathrm{\Lambda }}_1{\mathrm{\Lambda }}_2\}.$

Група Пуанкарэ гуляе важную ролю ў спецыяльнай тэорыі адноснасці і з'яўляецца групай яе глабальнай сіметрыі. Матэматычная форма

• законаў рэлятывісцкай кінематыкі,
• ураўненняў Максвела ў тэорыі электрамагнетызму,
• ураўнення Дзірака ў тэорыі электрона

застаецца інварыянтнай ў адносінах да пераўтварэнняў Лорэнца. Такім чынам, група Пуанкарэ характарызуе фундаментальную сіметрыю найбольш важных законаў прыроды.

Група была ўведзена ў 1905 Анры Пуанкарэ. Як і група Лорэнца, група P мае чатыры кампаненты складнасці, якія распазнаюцца значэннямі $\det \mathrm{\Lambda }$ і знакам ${\mathrm{\Lambda }}_0^0$. Гэта — неабелева, некампактная і няпростая група Лі. Найбольш важнай з'яўляецца кампанента $P$, у якой $\det \mathrm{\Lambda }=1$, ${\mathrm{\Lambda }}_0^0>0$, якая змяшчае тоеснае пераўтварэнне.

Група $P$ — 10-параметрычная: да шасці генератараў $M_{\mu \nu }$ групы Лорэнца дадаюцца чатыры генератара трансляцый.

Гл. таксама

• Група Лі
• Алгебра Лі
• Група Лорэнца