Закон Рэлея — Джынса

Закон Рэлея — Джынса — закон выпраменьвання для раўнаважнай шчыльнасці выпраменьвання абсалютна чорнага цела $u(\omega ,T)$ і для выпраменьвальнай здольнасці абсалютна чорнага цела $f(\omega ,T)$, які атрымалі Рэлей і Джынс, у рамках класічнай статыстыкі (тэарэма аб роўнаразмеркаванні энергіі па ступенях свабоды і ўяўленне аб электрамагнітным полі як аб бясконцамернай дынамічнай сістэме).

Правільна апісваў нізкачастотную частку спектра, пры сярэдніх частотах прыводзіў да рэзкага разыходжання з эксперыментам, а пры высокіх — да абсурднага выніку (гл. ніжэй), які азначаў нездавальняючасць класічнай фізікі.

Вывад формулы

Залежнасць выпраменьвальнай здольнасці абсалютна чорнага цела ад даўжыні хвалі для розных тэмператур (вылучаныя колерам) і яе выгляд, зыходзячы з класічных разважанняў Рэлея і Джынса (чорны колер)

Грунтуючыся на законе аб роўнаразмеркаванні энергіі па ступенях свабоды: на кожнае электрамагнітнае ваганне прыходзіцца ў сярэднім энергія, якая складваецца з дзвюх частак kT. Адну палавіну ўносіць электрычны складнік хвалі, а другую — магнітны. Само па сабе, раўнаважнае выпраменьванне ў поласці можна прадставіць як сістэму стаячых хваль. Колькасць стаячых хваль у трохмернай прасторы даецца выразам:

$\mathrm{d}{n}_{\omega }=\frac{{\omega }^2\mathrm{d}\omega }{2{\pi }^2{v}^3}(1)$.

У нашым выпадку хуткасць $v$ трэба прыняць роўнай $c$, больш таго, у адным кірунку могуць рухацца дзве электрамагнітныя хвалі з адной частатой, але са ўзаемна перпендыкулярнымі палярызацыямі, тады (1) трэба яшчэ памножыць на два:

$\mathrm{d}{n}_{\omega }=\frac{{\omega }^2\mathrm{d}\omega }{{\pi }^2{c}^3}(2)$.

Рэлей і Джынс кожнаму ваганню прыпісалі энергію $\bar{\epsilon }=kT$. Памножыўшы (2) на \ overline { \ varepsilon } $\bar{\epsilon }$, атрымаем шчыльнасць энергіі, якая прыпадае на інтэрвал частот $\mathrm{d}\omega$:

$u(\omega ,T)\mathrm{d}\omega =\bar{\epsilon }\mathrm{d}{n}_{\omega }=kT\frac{{\omega }^2}{{\pi }^2{c}^3}\mathrm{d}\omega$,

тады:

$u(\omega ,T)=kT\frac{{\omega }^2}{{\pi }^2{c}^3}(3)$.

Ведаючы сувязь выпускальнай здольнасці абсалютна чорнага цела $f(\omega ,T)$ з раўнаважнай шчыльнасцю энергіі цеплавога выпраменьвання $f(\omega ,T)=\frac{c}{4}u(\omega ,T)$, для $f(\omega ,T)$ знаходзім :

$f(\omega ,T)=kT\frac{{\omega }^2}{4{\pi }^2{c}^2}(4)$

Выразы (3) і (4), называюць формулай Рэлея—Джынса.

Ультрафіялетавая катастрофа

Формулы (3) і (4) здавальняюча адпавядаюць эксперыментальным дадзеным толькі для вялікіх даўжынь хваль, на больш кароткіх хвалях згода з эксперыментам рэзка разыходзіцца. Больш таго, інтэграванне (3) па $\omega$ ў межах ад 0 да $\mathrm{\infty }$ для раўнаважкай шчыльнасці энергіі u(T) дае бясконца вялікае значэнне. Гэты вынік, які атрымаў назву ультрафіялетавай катастрофы, відавочна, супярэчыць эксперыментам: раўнавага паміж выпраменьваннем і целам, што выпраменьвае, павінна ўсталёўвацца пры канечных значэннях u(T). Аднак памылкі ў вывадзе формулы Рэлея—Джынса з класічнага пункта гледжання няма. Відавочна нязгода з эксперыментам выклікана нейкімі заканамернасцямі, несумяшчальнымі з класічнай фізікай. Гэтыя заканамернасці былі вызначаны Максам Планкам: ў 1900 годзе яму ўдалося знайсці выгляд функцыі $u(\omega ,T)$, які адпавядае вопытным дадзеным і пазней названы формулай Планка.