Кампактыфікацыя

У агульнай тапалогіі кампактыфіка́цыя — аперацыя, якая пераўтворыць адвольныя тапалагічныя прасторы ў кампактныя.

Фармальна кампактыфікацыя прасторы $X$ вызначаецца як пара $(Y,f)$, дзе $Y$ кампактна, $f:X\to Y$ гамеамарфізм на свой вобраз $f(X)$ і $f(X)$ шчыльна ў $Y$.

На кампактыфікацыях некаторай фіксаванай прасторы $X$ можна ўвесці частковы парадак. Пакладзем $f_1⩽f_2$ для двух кампактыфікацый $f_1:X\to Y_1$, $f_2:X\to Y_2$, калі існуе бесперапыннае адлюстраванне $g:Y_2\to Y_1$ такое, што $g{f}_2=f_1$. Максімальны (з дакладнасцю да гамеамарфізма) элемент у гэтым парадку называецца кампактыфікацыяй Стоўна — Чэха і пазначаецца $\beta X$. Для таго, каб у прасторы $X$ існавала кампактыфікацыя Стоўна — Чэха, якая задавальняе аксіёме аддзельнасці Хаусдорфа, неабходна і дастаткова, каб $X$ задавальняла аксіоме аддзельнасці $T_{3\frac{1}{2}}$, г.зн. была цалкам рэгулярным.

Аднакропкавая кампактыфікацыя (або кампактыфікацыя Аляксандрава) ўладкованая наступным чынам. Няхай $Y=X\cup \{\mathrm{\infty }\}$ і адкрытымі мноствамі ў $Y$ лічацца ўсе адкрытыя мноства $X$, а таксама мноства выгляду $O\cup \{\mathrm{\infty }\}$, дзе $O\subseteq X$ мае кампактнае (у $X$) дапаўненне. $f$ бярэцца як натуральнае ўкладанне $X$ у $Y$. $(Y,f)$ тады кампактыфікацыя, прычым $Y$ хаусдарфавае тады і толькі тады, калі $X$ хаусдарфавае і лакальна кампактнае.

Прыклады аднакропкавай кампактыфікацыі

$ℝ\cup \{\mathrm{\infty }\}$ з тапалогіяй, сканструяванай як паказана вышэй, з'яўляецца кампактнай прасторай. Няцяжка даказаць, што калі дзве прасторы гамеаморфныя, то і адпаведныя аднакропкавыя кампактыфікацыі гамеаморфныя. У прыватнасці, так як акружнасць на плоскасці без адной кропкі гамеаморфная з $ℝ$ (прыклад гамеамарфізму — стэрэаграфічная праекцыя), цэлая акружнасць гамеаморфная з $ℝ\cup \{\mathrm{\infty }\}$. Аналагічна, ${ℝ}^n\cup \{\mathrm{\infty }\}$ гамеаморфна c n-мернай гіперсферай.