Квадратычны закон узаемнасці

Квадратычны закон узаемнасці — сцвярджэнне аб вырашальнасці квадратычнага Шаблон:Нп3 простага ліку. Часцей за ўсё фармулюецца праз сімвалы Лежандра.

Фармулёўка

Азначэнне сімвала Лежандра

Няхай Шаблон:Math — цэлы лік, і Шаблон:Math — просты лік, не роўны 2. Шаблон:Нп3 $\left(\frac{a}{p}\right)$ вызначаецца наступным чынам:

• $\left(\frac{a}{p}\right)=0$, калі Шаблон:Math дзеліцца на Шаблон:Math;
• $\left(\frac{a}{p}\right)=1$, калі Шаблон:Math з'яўляецца Шаблон:Нп3 па модулю Шаблон:Math, г.зн. Шаблон:Math не дзеліцца на Шаблон:Math і існуе такі цэлы Шаблон:Math, што $x^2\equiv a(\mathrm{mod}p)$;
• $\left(\frac{a}{p}\right)=-1$, калі Шаблон:Math з'яўляецца квадратычнаю нярэштаю па модулю Шаблон:Math, г.зн. Шаблон:Math не дзеліцца на Шаблон:Math і не з'яўляецца квадратычнаю рэштаю па модулю Шаблон:Math.

Тэарэма

Квадратычны закон узаемнасці Гауса для сімвалаў Лежандра сцвярджае, што

$\left(\frac{p}{q}\right)\left(\frac{q}{p}\right)=(-1{)}^{\frac{(p-1)(q-1)}{4}},$

дзе Шаблон:Math і Шаблон:Math — розныя няцотныя простыя лікі.

Таксама справядлівыя наступныя дапаўненні:

$\left(\frac{-1}{p}\right)=(-1{)}^{\frac{p-1}{2}}$     і     $\left(\frac{2}{p}\right)=(-1{)}^{\frac{p^2-1}{8}}.$

Прымяненні

• Наступны факт, вядомы яшчэ П'еру Ферма: простымі дзельнікамі лікаў $x^2+1$ могуць быць толькі лік 2 і простыя лікі, прыналежныя арыфметычнай прагрэсіі

  $4k+1$.

Іншымі словамі, параўнанне

$x^2+1\equiv 0(\mathrm{mod}p)$

па простаму модулю $p>2$ вырашальнае ў тым і толькі ў тым выпадку, калі $p\equiv 1(\mathrm{mod}4).$

З дапамогаю сімвала Лежандра, апошняе сцвярджэнне можна выразіць наступным чынам:

$\left(\frac{-1}{p}\right)=(-1{)}^{\frac{p-1}{2}}.$

• Пытанне аб вырашальнасці параўнання

  $a{x}^2+bx+c\equiv 0(\mathrm{mod}p)$

развязваецца алгарытмам з выкарыстаннем мультыплікатыўнасці сімвала Лежандра і квадратычнага закона ўзаемнасці.

Гісторыя

Фармулёўка квадратычнага закона ўзаемнасці была вядома яшчэ Эйлеру ў 1783 годзе. Лежандр сфармуляваў закон незалежна ад Эйлера і даказаў яго ў некаторых асобных выпадках у 1785 годзе. Поўны доказ быў атрыман Гаусам у 1796 годзе, які пазней даў некалькі яго доказаў, заснаваных на зусім розных ідэях.

Адзін з самых простых доказаў быў прапанаваны Шаблон:Нп3 у 1872 годзе.

Пазней былі атрыманы розныя абагульненні квадратычнага закона ўзаемнасці.

Гл. таксама

• Шаблон:Нп3
• Шаблон:Нп3
• Шаблон:Нп3

Літаратура

• Шаблон:Кніга
• Шаблон:Кніга

Спасылкі

• Шаблон:MathWorld