Медыяна трохвугольніка

Трохвугольнік і яго медыяны.

Медыя́на трохвуго́льніка (Шаблон:Lang-la — сярэдняя) ― адрэзак унутры трохвугольніка, якія злучае вяршыню трохвугольніка з сярэдзінаю процілеглай стараны, а таксама прамая, якая ўтрымлівае гэты адрэзак.

Уласцівасці

• Медыяны трохвугольніка перасякаюцца з адным пункце, які называецца цэнтроідам ці цэнтрам цяжару трохвугольніка, і дзеляцца гэтым пунктам на дзве часткі ў адносіне 2:1, лічачы ад вяршыні.
• Медыяна разбівае трохвугольнік на два роўнавялікія трохвугольнікі.
• Трохвугольнік дзеліцца трыма медыянамі на шэсць роўнавялікіх трохвугольнікаў.
• Большай старане трохвугольніка адпавядае меншая медыяна.
• З вектараў, утвараючых медыяны, можна скласці трохвугольнік.
• Пры афінных пераўтварэннях медыяна пераходзіць у медыяну.
• Формула медыяны праз стораны (выводзіцца з тэарэмы Сцюарта ці дабудоваю да паралелаграма і выкарыстаннем роўнасці ў паралелаграме сумы квадратаў старон і сумы квадратаў дыяганалей):

  $m_c=\frac{\sqrt{2a^2+2b^2-c^2}}{2},$

  дзе Шаблон:Math — медыяна к старане Шаблон:Math; Шаблон:Math, Шаблон:Math, Шаблон:Math — стораны трохвугольніка,

• У прыватнасці, сума квадратаў медыян адвольнага трохвугольніка ў 4/3 раза меншая за суму квадратаў яго старон:

  $m_a^2+m_b^2+m_c^2=\frac{3}{4}(a^2+b^2+c^2).$

• Формула стараны праз медыяны:

  $a=\frac{2}{3}\sqrt{2(m_b^2+m_c^2)-m_a^2},$

  дзе $m_a,m_b,m_c$ медыяны да адпаведных старон трохвугольніка, $a,b,c$ — стораны трохвугольніка.

Гл. таксама

• Цэнтроід

Спасылкі

• Асноўныя лініі трохвугольніка Шаблон:Ref-ru