Метад Рунгэ — Ромберга

Метад Рунгэ — Ромберга — спосаб удакладнення прыбліжаных значэнняў функцыі, атрыманых на сетцы вузлоў з дапамогай некаторых формул. Метад дазваляе павышаць парадак дакладнасці сеткавых формул без увядзення дадатковых вузлоў і ўскладнення саміх формул.

Адно з асноўных прымяненняў — павышэнне дакладнасці сеткавых метадаў лікавага рашэння дыферэнцыяльных ураўненняў.

Метад даволі агульны і не залежыць ад выгляду формул прыбліжанага вылічэння.

Асноўная ідэя:

• вылічваецца рашэнне выбраным метадам з крокам Шаблон:Math;
• а затым рашэнне з крокам Шаблон:Math (як правіла, у якасці Шаблон:Math бярэцца цэлы лік, часцей за ўсё 2);
• на аснове гэтых рашэнняў вылічваецца ўдакладненае рашэнне (з дапамогай простых арыфметычных дзеянняў з пагрэшнасці выключаецца член найменшага парадку, г.зн. найбольшы па абсалютнай велічыні).

Апісанне метаду

Ёсць некаторая функцыя Шаблон:Math, дзе Шаблон:Math прымае значэнні з некаторай вобласці прасторы. Неабходна вылічыць значэнні функцыі Шаблон:Math на вузлах раўнамернай рашоткі (сеткі) ў вобласці.

Няхай Шаблон:Math — формула для прыбліжанага вылічэння функцыі Шаблон:Math на вузлах раўнамернай сеткі з крокам Шаблон:Math, такая што для пагрэшнасці справядліва ацэнка:

$z(x)-\zeta (x,h)=\psi (x)h^p+O(h^{p+1}).$

Адпаведна, калі ажыццявіць разлік па формуле Шаблон:Math на раўнамернай сетцы з крокам Шаблон:Math, атрымаем:

$z(x)-\zeta (x,rh)=\psi (x)(rh{)}^p+O((rh{)}^{p+1}).$

Заўважым, што Шаблон:Math — некаторы пастаянны загадзя выбраны лік. Таму Шаблон:Math.

Выразім велічыню Шаблон:Math з гэтых дзвюх роўнасцей, атрымаем першую формулу Рунгэ:

$\psi (x)h^p=\frac{\zeta (x,h)-\zeta (x,rh)}{r^p-1}+O(h^{p+1}).$

Першы складнік справа і ёсць галоўны член пагрэшнасці. Такім чынам, разлік на другой сетцы дазваляе ацаніць пагрэшнасць разліку на першай (з дакладнасцю да членаў вышэйшых парадкаў).

Падстаўляючы знойдзеную велічыню, атрымліваем другую формулу Рунгэ:

$z(x)=\zeta (x,h)+\frac{\zeta (x,h)-\zeta (x,rh)}{r^p-1}+O(h^{p+1}),$

якае дае прыбліжэнне функцыі Шаблон:Math з большай дакладнасцю.

Такі спосаб павышэння дакладнасці называецца метадам Рунгэ.

Абагульненне

Метад Рунгэ абагульняецца на выпадак адвольнага ліку сетак. Няхай функцыя Шаблон:Math мае дастаткова высокія непарыўныя вытворныя. Тады ў раскладаннях Тэйлара, на аснове якіх будуюцца прыбліжаныя формулы, можна браць больш членаў. Гэта дазваляе прадставіць пагрэшнасць у выглядзе рада:

$z(x)-\zeta (x,h)=\sum _{m\ge p}{\psi }_m(x)h^m.$

Няхай разлік праведзены на Шаблон:Math розных раўнамерных сетках з крокамі Шаблон:Math , Шаблон:Math. Тады можна выключыць першыя Шаблон:Math складнікаў пагрэшнасці. Для гэтага запішам выраз для Шаблон:Math на кожнай з сетак у наступным выглядзе:

$z(x)-\sum _{m=p}^{p+q-2}{\psi }_m(x)h_j^m=\zeta (x,h_j)+O(h^{p+q-1}),1\le j\le q,$

тут улічана, што Шаблон:Math, дзе Шаблон:Math — пастаянныя загадзя выбраныя лікі.

Разам гэтыя роўнасці ўтвараюць сістэму лінейных ураўненняў адносна велічынь Шаблон:Math і Шаблон:Math. Развязваючы яе па правілу Крамера, атрымліваем формулу Ромберга для ўдакладненага значэння:

$z(x)=\left|\begin{array}{ccccc}\zeta (x,h_1)& h_1^p& h_1^{p+1}& \dots & h_1^{p+q-2}\\ \zeta (x,h_2)& h_2^p& h_2^{p+1}& \dots & h_2^{p+q-2}\\ \dots & \dots & \dots & \dots & \dots \\ \zeta (x,h_q)& h_q^p& h_q^{p+1}& \dots & h_q^{p+q-2}\end{array}\right|\times {\left|\begin{array}{ccccc}1& h_1^p& h_1^{p+1}& \dots & h_1^{p+q-2}\\ 1& h_2^p& h_2^{p+1}& \dots & h_2^{p+q-2}\\ \dots & \dots & \dots & \dots & \dots \\ 1& h_q^p& h_q^{p+1}& \dots & h_q^{p+q-2}\end{array}\right|}^{-1}+O(h^{p+q-1}).$

Гэта формула дае павышэнне парадку дакладнасці выніку на Шаблон:Math у параўнанні з зыходнаю формулай Шаблон:Math, г.зн. кожная наступная сетка дазваляе павысіць парадак дакладнасці на адзінку.

Літаратура

• Шаблон:Кніга

• Шаблон:Кніга