Мультыплікатыўная функцыя

У тэорыі лікаў, мультыплікатыўная функцыя ― арыфметычная функцыя $f(m)$, такая што

$f(m_1{m}_2)=f(m_1)f(m_2)$

для любых узаемна простых лікаў $m_1$ і $m_2$.

Звычайна мяркуецца, што Шаблон:Math не роўная тоесна нулю, гэта раўназначна ўмове

$f(1)=1.$

Мультыплікатыўная функцыя называецца моцна мультыплікатыўнаю, калі

$f(p^{\alpha })=f(p)$

для ўсіх простых $p$ і ўсіх натуральных $\alpha$.

У тэорыі лікаў функцыі $f(m)$, якія задавальняюць умову мультыплікатыўнасці для ўсіх натуральных $m_1,m_2$, называюцца цалкам мультыплікатыўнымі (поўнасцю мультыплікатыўнымі).

Варта адзначыць, што па-за тэорыяй лікаў пад мультыплікатыўнаю функцыяй разумеюць любую функцыю $f$, вызначаную на некаторым мностве $X$ так, што

$f(x_1{x}_2)=f(x_1)f(x_2)$

для любых $x_1,x_2\in X.$

Прыклады

• Функцыя $\tau (m)$ ― лік натуральных дзельнікаў натуральнага $m$.
• Функцыя $\sigma (m)$ ― сума натуральных дзельнікаў натуральнага $m$.
• Функцыя Эйлера $\phi (m)$.
• Функцыя Мёбіуса $\mu (m)$.
• Функцыя $\frac{\phi (m)}{m}$ з'яўляецца моцна мультыплікатыўнаю.
• Ступенная функцыя $f(m)=m^{\alpha }$ з'яўляецца цалкам мультыплікатыўнаю.

Уласцівасці

Калі $f(m)$ — мультыплікатыўная функцыя, то функцыя

$g(m)=\sum _{d|m}f(d)$

таксама будзе мультыплікатыўнаю. Наадварот, калі функцыя $g(m)$, вызначаная гэтымі суадносінамі, з'яўляецца мультыплікатыўнаю, то і зыходная функцыя $f(m)$ таксама мультыплікатыўная.

Больш таго, калі $f(m)$ і $g(m)$ — мультыплікатыўныя функцыі, то мультыплікатыўнаю будзе і іх згортка Дзірыхле

$h(m)=\sum _{d|m}f(d)g\left(\frac{m}{d}\right).$

Літаратура

• Шаблон:Кніга
• Шаблон:Кніга
• Шаблон:Кніга

Гл. таксама

• Арыфметычная функцыя