Плоскасць

Дзве плоскасці, якія перасякаюцца

Пло́скасць — адно з асноўных паняццяў геаметрыі. Плоскасць — гэта бясконцая паверхня, да якой належаць усе прамыя, што праходзяць праз якія-небудзь два пункты плоскасці. У алгебры плоскасць вызначаецца як двухмерная афінная прастора.

У планіметрыі плоскасць разглядаецца як універсум, да якога належаць усе геаметрычныя фігуры. Стэрэаметрыя разглядае бесканечнае мноства плоскасцей, размешчаных у прасторы.

Ураўненні плоскасці

Плоскасць — алгебраічная паверхня першага парадку: у дэкартавай сістэме каардынат плоскасць можна задаць ураўненнем першай ступені.

• Агульнае ураўненне (поўнае) плоскасці

$Ax+By+Cz+D=0,(1)$

дзе $A,B,C$ і $D$ — канстанты, прычым хоць адзін з лікаў Шаблон:Math, Шаблон:Math і Шаблон:Math не роўны нулю (што раўназначна няроўнасці $|A|+|B|+|C|\ne 0$); у вектарнай форме:

$(𝐫,𝐍)+D=0,$

дзе $𝐫$ — радыус-вектар пункта $M(x,y,z)$, вектар $𝐍=(A,B,C)$ перпендыкулярны да плоскасці (нармальны вектар). Накіравальныя косінусы вектары $𝐍$:

$\cos \alpha =\frac{A}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}},$

$\cos \beta =\frac{B}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}},$

$\cos \gamma =\frac{C}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}}.$

Калі адзін з каэфіцыентаў ва ўраўненні плоскасці — нуль, ураўненне называецца няпоўным. Пры $D=0$ плоскасць праходзіць праз пачатак каардынат, пры $A=0$ (або $B=0$, $C=0$) плоскасць паралельная восі $Ox$ (адпаведна $Oy$ або $Oz$). Пры $A=B=0$ ($A=C=0$, або $B=C=0$) плоскасць паралельная плоскасці $Oxy$ (адпаведна $Oxz$ або $Oyz$).

• Ураўненне плоскасці ў адрэзках:

$\frac{x}{a}+\frac{y}{b}+\frac{z}{c}=1,$

дзе $a=-D/A,b=-D/B,c=-D/C$ — адрэзкі, якія плоскасць адсякае на восях $Ox,Oy$ і $Oz$.

• Ураўненне плоскасці, якая праходзіць праз пункт $M(x_0,y_0,z_0)$ перпендыкулярна вектару нармалі $𝐍(A,B,C)$:

$A(x-x_0)+B(y-y_0)+C(z-z_0)=0;$

у вектарнай форме:

$((𝐫-{𝐫}_{\mathrm{𝟎}}),𝐍)=0.$

• Ураўненне плоскасці, якая праходзіць праз тры зададзеныя пункты $M(x_i,y_i,z_i)$, якія не ляжаць на адной прамой:

$((𝐫-{𝐫}_{\mathrm{𝟏}}),({𝐫}_{\mathrm{𝟐}}-{𝐫}_{\mathrm{𝟏}}),({𝐫}_{\mathrm{𝟑}}-{𝐫}_{\mathrm{𝟏}}))=0,$

дзе $(𝐱,𝐲,𝐳)$ абазначае Шаблон:Нп5 вектараў Шаблон:Math, Шаблон:Math і Шаблон:Math, па-іншаму

$\left|\begin{array}{ccc}x-x_1& y-y_1& z-z_1\\ x_2-x_1& y_2-y_1& z_2-z_1\\ x_3-x_1& y_3-y_1& z_3-z_1\end{array}\right|=0.$

• Нармальнае (нармаванае) ураўненне плоскасці

$x\cos \alpha +y\cos \beta +z\cos \gamma -p=0,(2)$

у вектарнай форме:

$(𝐫,{𝐍}^{\mathrm{𝟎}})\mathbf{-}𝐩=0,$

дзе ${𝐍}^{\mathrm{𝟎}}$ — адзінкавы вектар, $p$ — адлегласць плоскасці ад пачатку каардынат. Ураўненне (2) можна атрымаць з ураўнення (1) дамнажэннем на нармавальны множнік

$\mu =\pm \frac{1}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}}$

(знакі $\mu$ і $D$ супрацьлеглыя).

Спасылкі

• Шаблон:З ВСЭ