Праектыўная прастора

У перспектыве, лініі, паралельныя на плоскасці, перасякаюцца ў Шаблон:Нп3 на гарызонце.

Праекты́ўная прасто́ра над полем Шаблон:Math — прастора, якая складаецца з прамых (аднамерных падпрастор) некаторай лінейнай прасторы Шаблон:Math над гэтым полем. Прамыя прасторы Шаблон:Math называюцца пунктамі праектыўнай прасторы. Гэта азначэнне можна абагульніць на адвольнае цела Шаблон:Math.

Калі Шаблон:Math мае размернасць Шаблон:Math, то размернасцю праектыўнай прасторы называецца лік Шаблон:Math, а сама праектыўная прастора абазначаецца Шаблон:Math і называецца асацыяванаю з Шаблон:Math (каб гэта пазначыць, прынята абазначэнне Шаблон:Math).

Пераход ад вектарнай прасторы Шаблон:Math размернасці Шаблон:Math да адпаведнай праектыўнай прасторы Шаблон:Math называецца праектывізацыяй прасторы Шаблон:Math.

Пункты Шаблон:Math можна апісаць з дапамогаю Шаблон:Нп3.

Аксіяматычнае азначэнне

Праектыўная прастора можа таксама вызначацца сістэмаю аксіём тыпу Шаблон:Нп3. У гэтым выпадку праектыўная прастора вызначаецца як сістэма, якая складаецца з мноства пунктаў P, мноства прамых L і дачынення інцыдэнтнасці I, якое звычайна выражаецца словамі «пункт ляжыць на прамой» ці «прамая праходзіць праз пункт», і задавальняе наступныя аксіёмы:

• Для любых двух розных пунктаў існуе адзіная прамая, інцыдэнтная абодвум пунктам; (праз любыя два пункты праходзіць толькі адна прамая)
• Кожная прамая інцыдэнтная не менш чым тром пунктам; (на кожнай прамой ляжыць не менш чым тры пункты)
• Калі прамыя L і M перасякаюцца (маюць агульны інцыдэнтны пункт), пункты p і q ляжаць на прамой L, а пункты s і r — на прамой M, то прамыя ps і qr перасякаюцца.

Падпрастораю праектыўнай прасторы называецца падмноства T мноства P, такое што для любых $p,q\in P$ з гэтага падмноства ўсе пункты прамой pq належаць T. Размернасцю праектыўнай прасторы P называецца найбольшы лік n, такі што існуе строга нарастаючы Шаблон:Нп3 падпрастор віду

$\varnothing =X_{-1}\subset X_0\subset \cdots X_n=P.$

Заўвага: усе сцвярджэнні можна лёгка сфармуляваць з дапамогаю паняцця прыналежнасці, не ўводзячы паняцця інцыдэнтнасці. Аднак паняцце інцыдэнтнасці дазваляе фармуляваць сцвярджэнні ў форме, сіметрычнай адносна паняццяў "пункт" і "прамая". І ў некаторых выпадках гэта аказваецца даволі зручным.

Класіфікацыя

• Размернасць 0: прастора складаецца з аднаго пункта.
• Размернасць 1: адвольнае непустое мноства пунктаў і адзіная прамая, на якой ляжаць усе гэтыя пункты.
• Размернасць 2 (Шаблон:Нп3): у гэтым выпадку класіфікацыя больш складаная. Усе плоскасці віду $K{P}^n$ для некаторага цела $K$ задавальняюць Шаблон:Нп3, аднак існуюць такія Шаблон:Нп3.
• Большыя размернасці: згодна з Шаблон:Нп3, любая праектыўная прастора размернасці больш чым два можа быць атрымана як праектывізацыя Шаблон:Нп3 над некаторым целам.

Звязаныя азначэнні і ўласцівасці

• Няхай $M$ — гіперплоскасць у лінейнай прасторы $L$. Праектыўная прастора $P(M)\subset P(L)$ называецца праектыўнаю гіперплоскасцю ў $P(L)$.
• На дапаўненні праектыўнай гіперплоскасці $A=P(L)\mathrm{\setminus }P(M)$ існуе натуральная структура Шаблон:Нп3.
• Наадварот, узяўшы за аснову афінную прастору $A$ можна атрымаць праектыўную прастору як афінную, да якой дабаўлены т. зв. бесканечна аддаленыя пункты. Першапачаткова праектыўная прастора і была ўведзена такім чынам.

Таўталагічнае расслаенне

Таўталагічным расслаеннем ${\gamma }^n:E\to ℝP^n$ называецца Шаблон:Нп3, прастораю расслаення якога з'яўляецца падмноства прамога здабытку $ℝP^n\times {ℝ}^{n+1}$

$E({\gamma }^n):=\{(\{\pm x\},v)\in ℝP^n\times {ℝ}^{n+1}:v=\lambda x,\lambda \in ℝ\}.$

а слоем — рэчаісная прамая $ℝ$. Кананічная праекцыя ${\gamma }^n$ адлюстроўвае прамую, якая праходзіць праз пункты $\pm x\in {ℝ}^{n+1}$, у адпаведны пункт праектыўнай прасторы. Пры $n\ge 1$ гэта расслаенне не з'яўляецца трывіяльным. Пры $n=1$ прастораю расслаення з'яўляецца стужка Мёбіуса.

Літаратура

• Артин Э. Геометрическая алгебра — М.: Наука, 1969.
• Дубровин Б. А., Новиков С. П., Фоменко А. Т. Современная геометрия. Методы и приложения. — М.: Наука, 1979.
• Кострикин А. И., Манин Ю. И. Линейная алгебра и геометрия — М.: МГУ, 1980.
• Хартсхорн Р. Основы проективной геометрии — М.: Мир, 1970.
• Шафаревич И. Р., Ремизов А. О. Линейная алгебра и геометрия, — Физматлит, Москва, 2009.
• Александров А. Д., Нецветаев Н. Ю. Геометрия. — Наука, Москва, 1990.
• Бэр Р. Линейная алгебра и проективная геометрия. — УРСС, Москва, 2004.
• Фиников С. П. Аналитическая геометрия: Курс лекций. — УРСС, Москва, 2008.