Прамая геадэзічная задача

Прамая геадэзічная задача

Прамая геадэзічная задача — вылічэнне геадэзічных каардынат — шыраты і даўгаты некаторага пункту, які ляжыць на зямным эліпсоідзе, па каардынатам іншага пункту і па вядомым даўжыні і дырэкцыйнаму вуглу дадзенага кірунку, што злучае гэтыя пункты.

Для пунктаў, якія размешчаны на сфероідзе, рашэнне дадзенай задачы ўяўляе значныя цяжкасці. Для пунктаў на плоскасці яна вырашаецца наступным чынам (гл. выяву).

Дадзена: Пункт $A(X_A,Y_A)$, $S_{AB}$ і ${\alpha }_{AB}$.

Знайсці: Пункт $B(X_B,Y_B)$

Непасрэдна з выявы маем:

$\mathrm{\Delta }X=X_B-X_A$

$\mathrm{\Delta }Y=Y_B-Y_A$

Рознасці $\mathrm{\Delta }X$ і $\mathrm{\Delta }Y$ каардынат наступнага і папярэдняга пунктаў называюцца прырашчэннямі каардынат. Яны ўяўляюць сабою праекцыі адрэзка АВ на адпаведныя восі каардынат. Іх значэнні знаходзім з прамавугольнага трохвугольніка АВС:

$\mathrm{\Delta }X=S_{AB}\cos {\alpha }_{AB}$

$\mathrm{\Delta }Y=S_{AB}\sin {\alpha }_{AB}$

Так як ў гэтых формулах $S_{AB}$ заўсёды чысло станоўчае, то знакі прырашчэнняў каардынат $\mathrm{\Delta }X$ і $\mathrm{\Delta }Y$ залежаць ад знакаў $\cos {\alpha }_{AB}$ і $\sin {\alpha }_{AB}$. Для розных значэнняў вуглоў знакі $\mathrm{\Delta }X$ і $\mathrm{\Delta }Y$ прадстаўлены ў табліцы.

Прырашчэнні каардынат	Чвэрць акружнасці ў якую накіравана лінія
	I (ПнУ)	II (ПдУ)	III (ПдЗ)	IV (ПнЗ)
$\mathrm{\Delta }X$	$+$	—	—	$+$
$\mathrm{\Delta }Y$	$+$	$+$	—	—

Пры дапамозе румба прырашчэння каардынат вылічаюць па формулах:

$\mathrm{\Delta }X=S_{AB}\cdot \cos r_{AB}$;

$\mathrm{\Delta }Y=S_{AB}\cdot \sin r_{AB}$.

Знакі прырашчэнням даюць у залежнасці ад назвы румба.

Вылічыўшы прырашчэнні каардынат, знаходзім шуканыя каардынаты іншай кропкі:

$X_B=X_A+\mathrm{\Delta }X$;

$Y_B=Y_A+\mathrm{\Delta }Y$.

Такім чынам можна знайсці каардынаты любой колькасці пунктаў паводле правіла: каардынаты наступнага пункту роўныя каардынатам папярэдняга пункту плюс адпаведныя прырашчэнні. Шаблон:НК