Рад Ларана

Рад Ларана — двухбаковы бясконцы ступеневы рад па цэлых ступенях $(z-a)$ над полем камплексных лікаў:

$\sum _{n\in \mathbb{Z}}{a}_n(z-a{)}^n,$

дзе $z,a_n,a\in ℂ.$

Гэты рад з'яўляецца сумай двух радоў:

1. $\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{a}_n(z-a{)}^n$ — неадмоўная частка рада Ларана, якая часам называецца правільнай і
2. $\sum _{n=-\mathrm{\infty }}^{-1}{a}_n(z-a{)}^n$ — адмоўная частка рада Ларана, якая часам называецца галоўнай.

Пры гэтым рад Ларана лічыцца збежным тады і толькі тады, калі сыходзяцца яго правільная і галоўная часткі. Гэтыя рады названы так у гонар французскага матэматыка П. А. Ларана.

Уласцівасці

• Калі нутро вобласці збежнасці рада Ларана непустое, то яно ўяўляе сабой кругавое кольца

$D=\{z\in ℂ\mid r<|z-a|<R<\mathrm{\infty }\}$

• Ва ўсіх пунктах свайго кольца збежнасці $D$ рад Ларана сыходзіцца абсалютна;
• Як і для ступеневых радоў, паводзіны рада Ларана ў пунктах межавых акружнасцей кольца збежнасці могуць быць самымі разнастайнымі;
• На любым кампактным падмностве $K\subset D$ рад збягаецца раўнамерна;
• Сума рада Ларана ў $D$ ёсць аналітычная функцыя $f(z)$;
• Рад Ларана можна дыферэнцаваць і інтэграваць у $D$ пачленна;
• Раскладанне ў рад Ларана адзінае, гэта значыць калі сумы двух радоў Ларана супадаюць у $D$, то супадаюць і ўсе каэфіцыенты гэтых радоў.
• Каэфіцыенты $a_n$ рада Ларана вызначаюцца праз яго суму $f(z)$ формуламі

$a_n=\frac{1}{2\pi i}\underset{\gamma }{\int }\frac{f(z)dz}{(z-a{)}^{n+1}},$

дзе $\gamma (t)=a+\rho e^{it}$, $t\in [0,2\pi ]$, $r<\rho <R$ — любая акружнасць з цэнтрам Шаблон:Math, размешчаная ўсярэдзіне кольца збежнасці.

Тэарэма Ларана

Прымяненне радоў Ларана заснавана галоўным чынам на наступнай тэарэме Ларана:

Любую адназначную аналітычную функцыю $f(z)$ у колцы $D=\{z\in ℂ:r<|z-a|<R<\mathrm{\infty }\}$ можна прадставіць у $D$ збежным радам Ларана.

У тым ліку, у праколатым наваколлі

$D=\{z\in ℂ:0<|z-a|<R<\mathrm{\infty }\}$

ізаляванага асаблівага пункта $a$ адназначная аналітычная функцыя $f(z)$ прадстаўляецца радам Ларана, які служыць асноўным інструментам даследавання яе паводзін у наваколлі ізаляванага асаблівага пункта.

Тып асаблівага пункта вызначаецца галоўнай часткай рада Ларана ў праколатым наваколлі гэтага пункта:

• Скасавальны асаблівы пункт — галоўная частка рада Ларана роўная 0.
• Полюс — галоўная частка змяшчае канечны лік ненулявых членаў.
• Істотна асаблівы пункт — галоўная частка змяшчае бясконцую колькасць ненулявых членаў.

Літаратура

• Шаблон:Кніга
• Шаблон:Кніга
• Шаблон:Кніга
• Шаблон:Кніга