Формула Герона

Фо́рмула Герона дазваляе вылічыць плошчу трохвугольніка (S) па яго баках a, b, c:

$S=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)},$

дзе p — паўперыметр трохвугольніка: $p=\frac{a+b+c}{2}$.

Гісторыя

Формула Герона

Гэта формула ўтрымліваецца ў «Метрыцы» Герона Александрыйскага (I стагоддзя н. э.) і названая ў яго гонар. Герон цікавіўся трохвугольнікамі з цэлалікавымі бакамі, плошчы якіх таксама з’яўляюцца цэлымі. Такія трохвугольнікі носяць назву Шаблон:Якар геронавых трохвугольнікаў. Прасцейшым геронавым трохвугольнікам з’яўляецца егіпецкі трохвугольнік.

Варыяцыі і абагульненні

• Выразіўшы паўперыметр праз паўсуму ўсіх бакоў дадзенага трохвугольніка, прыйдзем да формулы выгляду:

  $S=\frac{\sqrt{(-1)(a^4+b^4+c^4)+2(a^2{b}^2+b^2{c}^2+a^2{c}^2)}}{4}$

• Плошча ўпісанага ў акружнасць чатырохвугольніка вылічваецца па формуле Брахмагупты:

  $S=\sqrt{(p-a)(p-b)(p-c)(p-d)},$

дзе $p=\frac{a+b+c+d}{2}$ — паўперыметр чатырохвугольніка. (Трохвугольнік з’яўляецца лімітавым выпадкам упісанага чатырохвугольніка пры памкненні даўжыні адной з бакоў да нуля.)

• Тэарэма Люілье. Плошча сферычнага трохвугольніка выяўляецца праз яго бакі ${\theta }_a=\frac{a}{R},{\theta }_b=\frac{b}{R},{\theta }_c=\frac{c}{R}$ як:

  $S=4R^2\mathrm{arctg}\sqrt{\mathrm{tg}\left(\frac{{\theta }_s}{2}\right)\mathrm{tg}\left(\frac{{\theta }_s-{\theta }_a}{2}\right)\mathrm{tg}\left(\frac{{\theta }_s-{\theta }_b}{2}\right)\mathrm{tg}\left(\frac{{\theta }_s-{\theta }_c}{2}\right)}$, где ${\theta }_s=\frac{{\theta }_a+{\theta }_b+{\theta }_c}{2}$ — паўпрыметр.

• Для тэтраэдраў з’яўляецца ісціннай формула Герона — Тарталья, якая абагульнена таксама на выпадак іншых мнагаграннікаў (гл. выгінаныя мнагаграннікі): калі ў тэтраэдра даўжыні кантаў роўныя $l_1,l_2,l_3,l_4,l_5,l_6$, то для яго аб’ёма $V$ ісцінны выраз

  $144V^2=l_1^2{l}_5^2(l_2^2+l_3^2+l_4^2+l_6^2-l_1^2-l_5^2)+l_2^2{l}_6^2(l_1^2+l_3^2+l_4^2+l_5^2-l_2^2-l_6^2)+l_3^2{l}_4^2(l_1^2+l_2^2+l_5^2+l_6^2-l_3^2-l_4^2)-l_1^2{l}_2^2{l}_4^2-l_2^2{l}_3^2{l}_5^2-l_1^2{l}_3^2{l}_6^2-l_4^2{l}_5^2{l}_6^2$.

• Формулу Герона можна запісаць з дапамогай вызначальніка ў выглядзе:

  $16S^2=-\left|\begin{array}{cccc}0& a^2& b^2& 1\\ a^2& 0& c^2& 1\\ b^2& c^2& 0& 1\\ 1& 1& 1& 0\end{array}\right|$

Яна з’яўляецца прыватным выпадкам вызначальніка Кэлі — Менгера для вылічэння гіпераб’ёма сімплекса.

Гл. таксама

• Тэарэма катангенсаў

Літаратура

• § 258 у Шаблон:Cite arXiv
• Шаблон:Артыкул
• Шаблон:Артыкул — доказ формулы Герона на аснове тэарэмы Піфагора