Характарыстыка кальца

Характары́стыка (кальца ці поля) — найменшы лік Шаблон:Math, такі што складанне Шаблон:Math адвольных аднолькавых элементаў кальца дасць у выніку нуль. Калі такога дадатнага ліку няма, тады кажуць, што кальцо мае нулявую характарыстыку.

Гэта значыць, што характарыстыка кальца Шаблон:Math (калі яна не роўная нулю) ёсць найменшы натуральны лік n, такі што для любога элемента Шаблон:Math з кальца Шаблон:Math справядліва роўнасць

$\underset{n}{\underbrace{x+\cdots +x}}=0.$

Характарыстыка кальца Шаблон:Math абазначаецца як Шаблон:Math.

Азначэнне

Няхай $R$ — адвольнае кальцо. Калі існуе такі дадатны лік $n$, што для любога элемента $r\in R$ выконваецца роўнасць

$n\cdot r=\underset{n}{\underbrace{r+\cdots +r}}=0,$

то найменшы з такіх лікаў $n$ называецца характарыстыкай кальца $R$ і абазначаецца сімвалам $\mathrm{char}R$. Пры гэтым кальцо $R$ называецца кальцом дадатнай характарыстыкі $\mathrm{char}R$.

Калі ж такіх лікаў $n$ няма, то лічаць $\mathrm{char}R=0$ і называюць $R$ кальцом характарыстыкі нуль.

У выпадку, калі кальцо $R$ змяшчае адзінку, азначэнне трохі спрашчаецца. У гэтым выпадку характарыстыку звычайна вызначаюць як найменшы ненулявы лік Шаблон:Math, такі што

$n\cdot 1=0,$

калі ж такога Шаблон:Math няма, то характарыстыка лічыцца роўнай нулю.

Прыклады

• Характарыстыкі кальца цэлых лікаў $\mathbb{Z}$, поля рацыянальных лікаў $\mathbb{Q}$, поля рэчаісных лікаў $ℝ$, поля камплексных лікаў $ℂ$ роўныя нулю.
• Характарыстыка кальца вылікаў $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$ роўная $n$.
• Характарыстыка канечнага поля ${𝔽}_{p^m}$ (дзе $p$ — просты лік, $m$ — натуральны лік) раўняецца $p$.

Уласцівасці

• Калі кальцо $R\ne \{0\}$ з адзінкай і без дзельнікаў нуля мае дадатную характарыстыку $n$, то яна з’яўляецца простым лікам. Такім чынам, характарыстыка любога поля $K$ ёсть альбо $0$, альбо просты лік $p$. У першым выпадку поле $K$ змяшчае ў якасці падполя поле, ізаморфнае полю рацыянальных лікаў $\mathbb{Q}$, у другім выпадку поле $K$ змяшчае ў якасці падполя поле, ізаморфнае полю вылікаў ${𝔽}_p$. У абодвух выпадках гэтае падполе называецца простым полем (уключаным у $K$).
• Характарыстыка любога поля — просты лік ці нуль. Характарыстыка канечнага поля заўсёды дадатная, аднак з таго, што характарыстыка поля дадатная, не вынікае, што поле канечнае. У якасці контрпрыкладаў можна прывесці поле рацыянальных функцый з каэфіцыентамі ў ${𝔽}_p$ і алгебраічнае замыканне поля ${𝔽}_p$.
• Калі $R$ — камутатыўнае кальцо простай характарыстыкі $p$, то

  $(a+b{)}^{p^n}=a^{p^n}+b^{p^n}$

для ўсіх $a,b\in R$, $n\in \mathbb{N}$. Для такіх кольцаў можна вызначыць Шаблон:Нп3.

Літаратура

• Лидл Р., Нидеррайтер Г. Конечные поля: В 2-х т. Т. 1. Пер. с англ. — М.: Мир, 1988.
• Кострикин А. И. Введение в алгебру. — М.: Наука, 1977.
• Глухов М. М., Елизаров В. П., Нечаев А. А. Алгебра: Учебник. В 2-х т. Т. 2. — М.: Гелиос АРВ, 2003.