Камплексная плоскасць

Камплексная плоскасць — гэта двухмерная рэчаісная прастора ${ℝ}^2$, ізаморфная полю камплексных лікаў $ℂ$. Кожны пункт такой прасторы — гэта ўпарадкаваная пара выгляду $(x,y)$, дзе $x$ і $y$ — рэчаісныя лікі, і дзе першы элемент пары адпавядае рэчаіснай частцы, а другі элемент пары адпавядае ўяўнай частцы камплекснага ліку $z=x+iy$:

$x=\mathrm{R}\mathrm{e}z,$

$y=\mathrm{I}\mathrm{m}z.$

Упарадкаваную пару $(x,y)$ натуральна вытлумачваць як радыус-вектар з пачаткам у нулі і з канцом у пункце $(x,y)$.

З прычыны ізамарфізму $ℂ$ і ${ℝ}^2$, алгебраічныя аперацыі над камплекснымі лікамі пераносяцца на аперацыі над адпаведнымі ім радыус-вектарамі:

• складанне камплексных лікаў — гэта складанне адпаведных радыус-вектараў;
• множанне камплексных лікаў — гэта пераўтварэнне радыус-вектара, звязанае з яго паваротам і расцяжэннем.

Вынікам кампактыфікацыі (замыкання) камплекснай плоскасці з'яўляецца пашыраная камплексная плоскасць — камплексная плоскасць, дапоўненая бясконца аддаленым пунктам, ізаморфная камплекснай сферы. Камплексная плоскасць звязана з камплекснай сферай, напрыклад, стэрэаграфічнай праекцыяй.

Камплексназначныя функцыі комплекснай пераменнай звычайна інтэрпрэтуюцца як адлюстраванні камплекснай плоскасці або сферы ў сябе. Паколькі прамыя на плоскасці (пры стэрэаграфічнай праекцыі) пераходзяць у акружнасці на сферы, якія ўтрымліваюць бясконца аддалены пункт, камплексныя функцыі зручней разглядаць на сферы.

Разглядаючы на камплекснай плоскасці тапалогію ${ℝ}^2$, можна ўводзіць паняцці адкрытых, замкнёных мностваў, і даваць вызначэнні такіх аб'ектаў як крывыя і фармуляваць такія ўласцівасці камплексных функцый як непарыўнасць, дыферэнцавальнасць і аналітычнасць, а камплекснае прадстаўленне дазваляе кампактна апісваць гэтыя ўласцівасці на мове суадносін паміж рэчаіснымі і ўяўнымі часткамі, а таксама, паміж модулямі і аргументамі адпаведных камплексных лікаў.

Асаблівую ролю ў камплексным аналізе адыгрываюць канформныя адлюстраванні.

Мноствы на камплекснай плоскасці

Адкрытыя мноствы

Фундаментальнае паняцце наваколля ўводзіцца на камплекснай плоскасці вельмі проста - наваколлем ${𝒰}_{z_0}$ пункта $z_0\in ℂ$ называецца мноства выгляду ${𝒰}_{z_0}=\{z:|z-z_0|<r\},r>0$. Геаметрычна на камплекснай плоскасці наваколлі маюць вельмі просты выгляд — гэта проста акружнасці з цэнтрам у пэўных пунктах камплекснай плоскасці. Часам бывае зручна разглядаць праколатыя наваколлі ${\dot{𝒰}}_{z_0}={𝒰}_{z_0}\setminus \{z_0\}$.

Зараз азначым адкрытае мноства — паводле аднаго з варыянтаў класічнага азначэння з агульнай тапалогіі, адкрытым мноства будзе, калі яно для любога свайго пункта змяшчае некаторае яго наваколле. Паняцце наваколля ўжо вызначана, адпаведна, адкрытае мноства на $ℂ$ цалкам вызначана.

Гранічны пункт і замкнёнае мноства

Вызначыць гранічны пункт таксама няцяжка — пункт $z_0\in ℂ$ будзе гранічным для мноства $G\subset ℂ$, калі для адвольнага наваколля ${𝒰}_{z_0}$ перасячэнне ${𝒰}_{z_0}\cap G$ будзе непустым. Іншымі словамі, пункт з'яўляецца гранічным, калі ў адвольнай «блізкасці» да яго заўсёды ёсць пункты мноства. Мноства гранічных пунктаў часам называецца вытворным і абазначаецца як $G^{\prime }$.

Мноства $G\subset ℂ$ будзе называцца замкнёным, калі для яго справядліва ўключэнне $G^{\prime }\subset G$. Ясна відаць, што для адвольнага мноства $G$ мноства $\bar{G}=G\cup G^{\prime }$ будзе замкнёна; яно называецца замыканнем мноства $G$.

Мяжа

Кропка $z_0\in ℂ$ называецца межавою для мноства $G\subset ℂ$, калі для адвольнага наваколля ${𝒰}_{z_0}$ перасячэнні ${𝒰}_{z_0}\cap G$ і ${𝒰}_{z_0}\cap (ℂ\setminus G)$ пустыя. Мноства ўсіх межавых пунктаў называецца межавым мноствам $\partial G$ або проста мяжой.

Усюды шчыльныя мноствы

Мноства $E\subset ℂ$ называецца ўсюды шчыльным ў іншым мностве $G\subset ℂ$, калі для адвольнага пункта $z_0\in G$ і любога наваколля ${𝒰}_{z_0}$ перасячэнне ${𝒰}_{z_0}\cap E$ непустое.

Звязнасць

Адлегласць паміж мноствамі

Як вядома з элементарнай матэматыкі, на камплекснай плоскасці адлегласць паміж двума пунктамі роўна модулю іх рознасці. Вызначым адлегласць паміж пунктам $z_0$ і некаторым мноствам $G\subset ℂ$ як велічыню $\mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{s}\mathrm{t}(z_0,G)=\underset{z\in G}{\inf }|z-z_0|$.

На аснове гэтага паняцця ўжо можна вызначыць адлегласць паміж двума адвольнымі мноствамі ў $ℂ$: $\mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{s}\mathrm{t}(G_1,G_2)=\underset{z\in G_1}{\inf }\mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{s}\mathrm{t}(z,G_2)=\underset{z\in G_2}{\inf }\mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{s}\mathrm{t}(z,G_1)$.

Звязнасць

Мноства $G\subset ℂ$ называецца звязным, калі для яго выконваюцца суадносіны $\underset{z_1,z_2\in G}{\inf }|z_1-z_2|=0$. Калі дадзеная велічыня не роўная нулю, то мноства называецца нязвязным. Можна паказаць, што нязвязнае мноства $G$ можна прадставіць у выглядзе аб'яднання (канечнага або злічальнага) $\sum G_n$, дзе $G_n$ — неперасякальныя звязныя мноствы, так званыя звязнымі кампанентамі мноства $G$. Магутнасць мноства звязных кампанент называецца парадкам звязнасці.

Выпуклыя, зорныя і лінейна звязныя мноствы

Мноства $G\subset ℂ$ называецца зорным адносна пункта $z_0\in G$, калі для адвольнага пункта $z\in G$ справядліва ўключэнне $\overline{z_{0}z}\subset G$.

Мноства $G\subset ℂ$ называецца выпуклым, калі яно зорнае адносна любога свайго пункта. Мноства $G^{*}$ называецца выпуклай абалонкай мноства $G$, калі яно выпуклае, $G\subset G^{*}$ і для любога выпуклага мноства $G^{**}$, якое змяшчае мноства $G$, выконваецца ўключэнне$G^{*}\subset G^{**}$.

Ламанаю $\mathrm{\Gamma }$ называецца мноства пунктаў камплекснай плоскасці, што прадстаўляецца ў выглядзе аб'яднання адрэзкаў. Мноства $G$ называецца лінейна звязным, калі для двух адвольных пунктаў $z_1,z_2\in G$ існуе ламаная $\mathrm{\Gamma }\subset G$ такая, што выконваецца $z_1,z_2\in \mathrm{\Gamma }$.

Можна даказаць, што любое лінейна звязнае мноства будзе звязным. Адсюль адразу вынікае, што ўсе выпуклыя і зорныя мноствы звязныя.

Крывыя на $ℂ$

Крывыя і шляхі

Крывой або шляхам на камплекснай плоскасці $ℂ$ называецца адлюстраванне выгляду $\phi (t):[0;1]\to ℂ$. Асабліва варта адзначыць, што пры такім азначэнні можна канкрэтызаваць не толькі выгляд крывой, які будзе залежаць ад аналітычных уласцівасцей функцыі $\phi (t)$, але і яе кірунак. Для прыкладу, функцыі $\phi (t)$ і $\eta (t)=\phi (1-t)$ будуць вызначаць аднолькавую з віду крывую, але з процілеглымі кірункамі.

Гоматопія крывых

Крывыя ${\phi }_0(t):[0;1]\to ℂ$ і ${\phi }_1(t):[0;1]\to ℂ$ называюцца гоматопнымі, калі існуе крывая $\xi (t,q):[0;1]\times [0;1]\to ℂ$, якая залежыць ад параметра $q$ такім чынам, што $\xi (t,0)\equiv {\phi }_0$ і $\xi (t,1)\equiv {\phi }_1$.

Бясконца аддалены пункт

У камплексным аналізе часта карысна разглядаць поўную камплексную плоскасць, дапоўненую у параўнанні са звычайнай бясконца аддаленым пунктам: $z=\mathrm{\infty }$. Пры такім падыходзе неабмежавана нарастальная (па модулю) паслядоўнасць лічыцца збежнай да бясконца аддаленага пункта. Алгебраічныя аперацыі з бесканечнасцю не вызначаны, хоць некалькі алгебраічных суадносін маюць месца:

• $\frac{z}{\mathrm{\infty }}=0;z+\mathrm{\infty }=\mathrm{\infty }(z\ne \mathrm{\infty })$
• $z\cdot \mathrm{\infty }=\mathrm{\infty };\frac{z}{0}=\mathrm{\infty }(z\ne 0)$

$\epsilon$-наваколлем бясконца аддаленага пункта лічыцца мноства пунктаў $z$, модуль якіх большы, чым $\epsilon$, гэта значыць знешняя частка $\epsilon$-наваколляў пачатку каардынат.

Літаратура

• Арнольд В. И. Геометрия комплексных чисел, кватернионов и спинов, МЦНМО, 2002.
• Понтрягин Л. Комплексные числа, Квант, № 3, 1982.
• Свешников А. Г., Тихонов А. Н. Теория функций комплексной переменной. М.: Наука, 1967, 304с.