Геаметрычная імавернасць

У тэорыі імавернасцей геаметрычная імавернасць — мадэль імавернаснай прасторы для задач, у якіх прастора элементарных падзей ёсць некаторым падмноствам прасторы ${ℝ}^n$Шаблон:Rp.

Азначэнне

Няхай $\mathrm{\Omega }\subset {ℝ}^n$ і $\mathrm{\Omega }$ мае канечны дадатны $n$-мерны аб’ём, які пазначым праз $|\mathrm{\Omega }|$. Праз $𝒜$ пазначым некаторую σ-алгебру Шаблон:Нп5 падмностваў $\mathrm{\Omega }$. За імавернасць падзеі $A\in 𝒜$ прымаецца лік

$$P(A)=\frac{|A|}{|\mathrm{\Omega }|},$$

дзе праз $|A|$ пазначаны $n$-мерны аб’ём (мера Лебега) мноства $A$.

Адпаведнасць геаметрычнай імавернасці аксіёмам неадмоўнасці, нармаванасці і злічонай адытыўнасці вынікае з прыведзенага вышэй азначэння імавернасці падзеі і ўласцівасцей меры Лебега.

Выкарыстанне

Геаметрычная імавернасць служыць мадэллю для задач, дзе часціца выпадкова кідаецца на мноства $\mathrm{\Omega }\subset {ℝ}^n$ і каардынаты падзення раўнамерна размеркаваныя па гэтым мностве.

Прыклады

Задача Бюфона

Ілюстрацыя да задачы Бюфона

Адзін з прыкладаў выкарыстання геаметрычнай імавернасці — задача БюфонаШаблон:Rp.

На гарызантальную паверхню, разлінееную Шаблон:Нп5 прамымі на адлегласці $2a$ паміж сабой кідаецца іголка даўжынёй $2l$, $0<l<a$. Патрабуецца знайсці імавернасць таго, што іголка перасячэ якую-кольвек прамую.

Развязанне

Становішча іголкі можна Шаблон:Нп5 значэннямі $x$ і $\phi$, дзе $x\in [0,a]$ — адлегласць паміж цэнтрам іголкі і бліжэйшай прамой, а $\phi \in [0,\pi ]$ — вугал паміж іголкай і прамымі. Параметры $x$ і $\phi$ незалежныя адзін ад аднаго, таму за прастору элементарных падзей можна прыняць прамавугольнік $\mathrm{\Omega }=[0,\pi ]\times [0,a]$.

З ілюстрацыі відаць, што іголка перасякае прамую тады і толькі тады, калі $x\le \sin \phi$. Такім чынам, падзея перасячэння адпавядае мноству $A=\{(\phi ,x)|0\le \phi \le \pi ,0\le x\le l\sin \phi \}$. Знойдзем плошчу мноства $A$, палічыўшы інтэграл

$$|A|=\underset{0}{\overset{\pi }{\int }}l\sin \phi d\phi =-l\cos \varphi {|}_0^{\pi }=2l.$$

Па формуле геаметрычнай імавернасці знаходзім $P(A)=\frac{|A|}{|\mathrm{\Omega }|}=\frac{2l}{a\pi }.$