Дыферэнцыяльнае ўраўненне

Мадэль размеркавання цяпла ў корпусе помпы, створаная шляхам рашэння ўраўнення цеплаправоднасці

Дыферэнцыяльнае ўраўненне, ці дыферэнцыяльнае раўнанне — ураўненне, якое звязвае значэнне некаторай невядомай функцыі ў некаторым пункце і значэнне яе вытворных розных парадкаў у тым жа пункце. Дыферэнцыяльнае ўраўненне змяшчае ў сваім запісе невядомую функцыю, яе вытворныя і незалежныя пераменныя. Аднак не кожнае ўраўненне, якое змяшчае вытворныя невядомай функцыі, з’яўляецца дыферэнцыяльным ураўненнем. Напрыклад, $f^{\prime }(x)=f(f(x))$ не з’яўляецца дыферэнцыяльным ураўненнем. Варта таксама адзначыць, што дыферэнцыяльнае ўраўненне можа наогул не змяшчаць невядомую функцыю, некаторыя яе вытворныя і свабодныя зменныя, але абавязкова змяшчаць хоць адну з вытворных.

У прыкладаннях матэматыкі часта ўзнікаюць задачы, у якіх невядомая залежнасць аднаго параметра ад іншага, але магчыма запісаць выраз дзеля хуткасці змены аднаго параметра адносна іншага (вытворнай). У гэтым выпадку задача зводзіцца да знаходжання функцыі па яе вытворнай, звязанай з некаторымі іншымі выразамі.

Гісторыя даследавання

Першапачаткова дыферэнцыяльныя ўраўненні ўзніклі з задач механікі, у якіх патрабавалася вызначыць каардынаты цел, іх хуткасці і паскарэнні, якія разглядаюцца як функцыі часу пры розных уздзеяннях. Да дыферэнцыяльных раўнанняў прыводзілі таксама некаторыя разгледжаныя ў той час геаметрычныя задачы.

Асноваю тэорыі дыферэнцыяльных раўнанняў стала дыферэнцыяльнае злічэнне, створанае Лейбніцам і Ньютанам (1642—1727). Сам тэрмін «дыферэнцыяльнае раўнанне» быў прапанаваны ў 1676 годзе Лейбніцам.

З вялікай колькасці работ XVIII стагоддзя па дыферэнцыяльных ураўненнях вылучаюцца працы Эйлера (1707—1783) і Лагранжа (1736—1813). У гэтых працах была развіта тэорыя малых ваганняў і тэорыя лінейных сістэм дыферэнцыяльных ураўненняў; адначасова ўзніклі асноўныя паняцці лінейнай алгебры (уласныя лікі і вектары ў Шаблон:Math-мерным выпадку). Услед за Ньютанам Лаплас і Лагранж, а пазней Гаус (1777—1855) развіваюць таксама метады тэорыі ўзбурэнняў.

Калі была даказана невырашальнасць алгебраічных ураўненняў у радыкалах, Жазеф Ліувіль (1809—1882) пабудаваў аналагічную тэорыю для дыферэнцыяльных ураўненняў, устанавіўшы немагчымасць рашэння рада раўнанняў (у тым ліку, такіх класічных, як лінейныя ўраўненні другога парадку) у элементарных функцыях і квадратуры. Пазней Софус Лі (1842—1899), аналізуючы пытанне аб інтэграванні раўнанняў у квадратурах, прыйшоў да неабходнасці падрабязна даследаваць групы дыфеамарфізмаў (якія пасля атрымалі назву груп Лі) — так з тэорыі дыферэнцыяльных ураўненняў узнікла адна з самых плённых абласцей сучаснай матэматыкі, далейшае развіццё якой было цесна звязана зусім з іншымі пытаннямі (алгебры Лі яшчэ раней разглядалі Сімеон Дэні Пуасон (1781—1840) і, асабліва, Карл Густаў Якаб Якобі (1804—1851)). Новы этап развіцця тэорыі дыферэнцыяльных ураўненняў пачынаецца з работ Анры Пуанкарэ (1854—1912), створаная ім «якасная тэорыя дыферэнцыяльных раўнанняў» разам з тэорыяй функцый камплексных зменных прывяла да стварэння сучаснай тапалогіі. Якасная тэорыя дыферэнцыяльных ураўненняў, ці, як цяпер яе часцей называюць, тэорыя дынамічных сістэм, цяпер актыўна развіваецца і мае шмат прыкладанняў у прыродазнаўстве.

Віды дыферэнцыяльных ураўненняў

Звычайныя ДУ

Звычайныя дыферэнцыяльныя ўраўненні (ЗДУ) — гэта ўраўненні, у якіх невядомая функцыя залежыць ад аднае зменнай. Яны маюць выгляд

$F(x,y,y^{\prime },y^{″},\dots ,y^{(n)})=0$  ці  $F(x,y,\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x},\frac{{\mathrm{d}}^{2}y}{\mathrm{d}{x}^2},\dots ,\frac{{\mathrm{d}}^{n}y}{\mathrm{d}{x}^n})=0,$

дзе $y=y(x)$ — невядомая функцыя (магчыма, вектар-функцыя; у такім выпадку часта гавораць аб сістэме дыферэнцыяльных ураўненняў), якая залежыць ад незалежнай зменнай Шаблон:Math, штрых абазначае дыферэнцаванне па Шаблон:Math. Лік Шаблон:Math, роўны найвышэйшаму парадку вытворных, прысутных ва ўраўненні, называецца парадкам дыферэнцыяльнага ўраўнення. Найбольш практычна важнымі з’яўляюцца дыферэнцыяльныя ўраўненні першага і другога парадку.

ДУ ў частковых вытворных

Дыферэнцыяльныя ўраўненні ў частковых вытворных (ДУЧВ) — ураўненні, якія змяшчаюць невядомыя функцыі ад некалькіх зменных і іх частковыя вытворныя. Такія ўраўненні можна запісаць у выглядзе:

$F(x_1,x_2,\dots ,x_m,z,\frac{\partial z}{\partial x_1},\frac{\partial z}{\partial x_2},\dots ,\frac{\partial z}{\partial x_m},\frac{{\partial }^{2}z}{\partial x_1^2},\frac{{\partial }^{2}z}{\partial x_1\partial x_2},\frac{{\partial }^{2}z}{\partial x_2^2},\dots ,\frac{{\partial }^{n}z}{\partial x_m^n})=0,$

дзе $x_1,x_2,\dots ,x_m$ — незалежныя пераменныя, а $z=z(x_1,x_2,\dots ,x_m)$ — функцыя гэтых пераменных. Парадак ураўненняў у частковых вытворных можа вызначацца гэтак жа, як для звычайных ДУ.

Ураўненні ў ЧВ другога парадку таксама падзяляюцца на ўраўненні эліптычнага, парабалічнага і гіпербалічнага тыпу.

Абагульненыя тыпы ДУ

• Шаблон:Нп4 (ДУЗ) — ураўненне для функцыі адной зменнай (т.зв. часу), у якім вытворная функцыі ў пэўны час выражаецца праз значэнні функцыі ў больш раннія часы.
• Шаблон:Нп4 (СДУ) — ураўненне, у якім невядомая велічыня з’яўляецца выпадковым працэсам. Такое ўраўненне можа ўключаць зададзеныя стахастычныя працэсы, напрыклад, Шаблон:Нп4 у выпадку Шаблон:Нп4.
• Шаблон:Нп4 (ДАУ) — дыферэнцыяльнае ўраўненне, якое ўключае дыферэнцыяльныя і алгебраічныя залежныя пераменныя, зададзеныя няяўным чынам.

Праграмнае забеспячэнне

• ExpressionsinBar
• Maple: dsolve
• SageMath
• Xcas: desolve(y'=k*y,y)

Гл. таксама

• Правіла Рунге — Ромберга

Літаратура

• Шаблон:Крыніцы/БелЭн С. 301.

Падручнікі

• В. И. Арнольд. Обыкновенные дифференциальные уравнения. М.: Наука, 1966.
• Л. С. Понтрягин. Обыкновенные дифференциальные уравнения. М.: Наука, 1974.
• Л. Э. Эльсгольц. Дифференциальные уравнения и вариационное исчисление. М.: Наука, 1969.
• А. Н. Тихонов, А. Б. Васильева, А. Г. Свешников. Дифференциальные уравнения, 4-е изд., Физматлит, 2005.
• А. Н. Тихонов, А. А. Самарский. Уравнения математической физики. М.: Наука, 1972.
• А. Д. Полянин, В. Ф. Зайцев, А. И. Журов. Методы решения нелинейных уравнений математической физики и механики. М.: Физматлит, 2005.
• Шаблон:Кніга
• Шаблон:Кніга

Даведнікі

• Э. Камке. Справочник по обыкновенным дифференциальным уравнениям. — М.: Наука, 1976.
• В. Ф. Зайцев, А. Д. Полянин. Справочник по обыкновенным дифференциальным уравнениям. — М.: Физматлит, 2001.
• Э. Камке. Справочник по дифференциальным уравнениям в частных производных первого порядка. — М.: Наука, 1966.
• В. Ф. Зайцев, А. Д. Полянин. Справочник по дифференциальным уравнениям с частными производными первого порядка. — М.: Физматлит, 2003.
• А. Д. Полянин. Справочник по линейным уравнениям математической физики. — М.: Физматлит, 2001.
• А. Д. Полянин, В. Ф. Зайцев. Справочник по нелинейным уравнениям математической физики: Точные решения. — М.: Физматлит, 2002.

Спасылкі

• Сайт пад рэдакцыяй А. Д. Паляніна «Мир математических уравнений» — EqWorld Шаблон:Ref-ru
• Рускамоўныя рэсурсы па дыферэнцыяльных ураўненнях у Адкрытым Каталозе. Шаблон:Ref-ru
• Прыклады рашэння дыферэнцыяльных ураўненняў Шаблон:Архівавана Шаблон:Ref-ru