Просты лік

Просты лік — натуральны лік, які мае роўна 2 дзельнікі: самога сябе і 1. Лікі, што маюць больш за 2 дзельнікі, называюцца састаўнымі. Паводле асноўнай тэарэмы арыфметыкі, кожны лік, большы за 1, можна прадставіць у выглядзе здабытку простых лікаў, прытым толькі адным спосабам (не ўлічваючы перастаноўкі множнікаў).

Паслядоўнасць простых лікаў

• Пачатак паслядоўнасці простых лікаў: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97, 101, 103, 107, 109, 113, 127, 131, 137, 139, 149, 151, 157, 163, 167, 173, 179, 181, 191, 193, 197, 199…

• Простых лікаў бесканечна многа (даказаў Эўклід: хай колькасць простых лікаў канечная, але тады ніводзін з іх не дзеліць іх здабытак, павялічаны на адзінку, а гэта супярэчнасць).

• Леанард Ойлер паказаў, што сума лікаў, адваротных простым, разбягаецца.

• Для кожнага натуральнага Шаблон:Math ёсць просты лік Шаблон:Math, не меншы за Шаблон:Math і не большы за Шаблон:Math (пастулат Бертрана).

• У арыфметычнай прагрэсіі Шаблон:Math, Шаблон:Math, Шаблон:Math, Шаблон:Math,…, дзе Шаблон:Math і Шаблон:Math ўзаемна простыя, існуе бесканечна многа простых лікаў (тэарэма Дзірыхле).

• Найбольшым вядомым зараз простым лікам з’яўляецца лік Мерсена Шаблон:Nobr, у яго дзесятковым запісе Шаблон:Num лічбаў.

• З мноства простых лікаў можна выдзеліць адвольна доўгую канечную паслядоўнасць простых лікаў, якая будзе адрэзкам арыфметычнай прагрэсіі. Гэта сцвярджэнне вядома пад назвай тэарэма Грына — Тао.

Размеркаванне простых лікаў

Для функцыі размеркавання простых лікаў Шаблон:Math (якую вызначаюць як колькасць простых лікаў, не большых за Шаблон:Math) справядліва асімптатычная роўнасць:

$\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{\lim }\frac{\pi (x)}{x/\ln x}=1.$

Гэта азначае, што колькасць простых лікаў, меншых за Шаблон:Math, мае парадак $n/\ln n$.

Тэсты на простасць

Самы просты спосаб пабудовы спіса простых лікаў да пэўнага значэння — рэшата Эратасфена. Для праверкі, ці з’яўляецца пэўны лік простым, доўгі час на практыцы ўжываліся толькі імавернасныя алгарытмы (напрыклад, тэст Мілера-Рабіна). У 2002 годзе быў знойдзены дэтэрмінаваны алгарытм полінаміяльнай складанасці. Для больш вузкіх класаў лікаў існуюць адмысловыя тэсты на простасць (напрыклад, тэст Люка-Лемера для лікаў Мерсена).

Простыя лікі ў тэорыі груп

• Колца рэштаў ${\mathbb{Z}}_p$ з’яўляецца полем тады і толькі тады, калі Шаблон:Math — просты лік.
• Характарыстыка канечнага поля — альбо 0, альбо просты лік.
• Калі Шаблон:Math — канечная група з Шаблон:Math элементаў, то яна мае элемент парадку Шаблон:Math.
• Калі Шаблон:Math дзеліць парадак групы Шаблон:Math, то Шаблон:Math мае Шаблон:Math падгруп парадку Шаблон:Math.

Неразвязаныя пытанні пра простыя лікі

• Гіпотэза Гальдбаха: ці можна кожны лік, большы за 2, раскласці ў суму двух простых?
• Праблема простых лікаў-блізнят: колькі існуе пар простых лікаў, рознасць між якімі роўная 2?
• Ці бесканечна многа простых лікаў Фібаначы? Простых лікаў Ферма? Простых лікаў выгляду Шаблон:Math?
• Ці заўсёды знойдзецца просты лік паміж Шаблон:Math і Шаблон:Math?

Практычнае выкарыстанне

На практыцы простыя лікі ўжываюцца ў крыптасістэмах з адкрытым ключом, у генератарах псеўдавыпадковых паслядоўнасцей.

Простыя лікі Сафі Жэрмен

Просты лік Шаблон:Math называецца Шаблон:Нп5, калі лік Шаблон:Math таксама з’яўляецца простым. Гэтыя лікі прыцягнулі ўвагу, таму што Сафі Жэрмен (Sophie Germain, французская вучоная-матэматык, 1 красавіка 1776 — 27 чэрвеня 1831) даказала, што апошняя тэарэма Ферма выконваецца для такіх лікаў.

Першыя простыя лікі Сафі Жэрмен:

2, 3, 5, 11, 23, 29, 41, 53, 83, 89, 113, 131, 173, 179, 191, 233,…

Паслядоўнасць Шаблон:Math простых лікаў Сафі Жэрмен называецца ланцугом Канігана (Cunningham chain) першага парадку. Кожны элемент гэтай паслядоўнасці (акрамя першага і апошняга) з’яўляецца адначасова простым лікам Сафі Жэрмен і бяспечным простым (Шаблон:Lang-en), гэта просты лік выгляду Шаблон:Math, дзе Шаблон:Math таксама просты).

Спасылкі

• The Prime PagesШаблон:Ref-en — збор найбольшых вядомых простых лікаў
• PrimeGrid prime lists Шаблон:Архівавана — усе простыя лікі, знойдзеныя ў рамках праекта PrimeGrid Шаблон:Архівавана
• Геаметрыя простых і дасканалых лікаўШаблон:Ref-es
• Geometrical connection between natural numbers and their factors