Арыфметычная прагрэсія

АрыфметыШаблон:Націскчная прагрэШаблон:Націсксія — паслядоўнасць лікаў Шаблон:Math, кожны наступны з якіх атрымліваецца з папярэдняга дадаваннем пастаяннага ліку Шаблон:Math, які называецца роШаблон:Націскзнасцю або кроШаблон:Націсккам арыфметычнай прагрэсіі.

Ведаючы першы член арыфметычнай прагрэсіі Шаблон:Math і яе рознасць Шаблон:Math, можна паслядоўна знаходзіць астатнія элементы з дапамогай зваротнай формулы

$a_{n+1}=a_n+d,n=1,2,3,\dots ,$

якая вынікае з азначэння. Такім чынам, любую арыфметычную прагрэсію можна падаШаблон:Націскць у выглядзе

$a_1,a_1+d,a_1+2d,\dots .$

Арыфметычная прагрэсія ёсць манатоннай паслядоўнасцю. Пры Шаблон:Math яна нарастае, а пры Шаблон:Math спадае. Калі Шаблон:Math, паслядоўнасць будзе сталай (г.зн. будзе складацца з аднолькавых членаў). Гэтыя сцверджанні вынікаюць са стасунку Шаблон:Math, справядлівага для членаў арыфметычнай прагрэсіі.

Уласцівасці

Агульны член арыфметычнай прагрэсіі

Член арыфметычнай прагрэсіі з нумарам Шаблон:Math можа быть вылічаны па формуле

$a_n=a_1+(n-1)d,$

дзе Шаблон:Math — першы член прагрэсіі, Шаблон:Math — яе рознасць. Шаблон:Схаваны

Адметная ўласцівасць арыфметычнай прагрэсіі

Паслядоўнасць $a_1,a_2,a_3,\dots$ ёсць арыфметычнай прагрэсіяй, калі і толькі калі для яе членаў праўдзіцца тоеснасць

$a_n=\frac{a_{n-1}+a_{n+1}}{2},n\ge 2.$

Сума першых Шаблон:Math членаў арыфметычнай прагрэсіі

Суму першых $n$ элементаў арыфметычнай прагрэсіі $S_n=a_1+a_2+\dots +a_n$ можна вылічыць па формулах

$S_n=\frac{a_1+a_n}{2}\cdot n,$

або

$S_n=\frac{2a_1+(n-1)d}{2}\cdot n,$

дзе Шаблон:Math — першы член прагрэсіі, Шаблон:Math — член з нумарам Шаблон:Math, Шаблон:Math — рознасць прагрэсіі.

Сувязь паміж арыфметычнай і геаметрычнай прагрэсіямі

Няхай $a_1,a_2,a_3,\dots$ — арыфметычная прагрэсія з рознасцю $d$ і лік $b>0$. Тады паслядоўнасць выгляду $b^{a_1},b^{a_2},b^{a_3},\dots$ ёсць геаметрычнай прагрэсіяй з назоўнікам $b^d$.

Збежнасць арыфметычнай прагрэсіі

Арыфметычная прагрэсія $a_1,a_2,a_3,\dots$ разбягаецца пры $d\ne 0$ і збягаецца пры $d=0$. Прычым

$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{a}_n=\{\begin{array}{cc}+\mathrm{\infty },& d>0\\ -\mathrm{\infty },& d<0\\ a_1,& d=0\end{array}$

Арыфметычныя паслядоўнасці вышэйшых парадкаў

Арыфметычную прагрэсію яшчэ называюць арыфметыШаблон:Націскчнай паслядоШаблон:Націскўнасцю 1-га параШаблон:Націскдку.

АрыфметыШаблон:Націскчнай паслядоШаблон:Націскўнасцю 2-га параШаблон:Націскдку называецца такая паслядоўнасць лікаў, што паслядоўнасць іх рознасцей сама ўтварае арыфметычную паслядоўнасць 1-га парадку (г. зн. простую арыфметычную прагрэсію). У якасці прыклада можна прывесці паслядоўнасць квадратаў натуральных лікаў:

0, 1, 4, 9, 16, 25, 36, ...,

рознасці якіх утвараюць арыфметычную прагрэсію з рознасцю 2:

1, 3, 5, 7, 9, 11, ....

Падобным чынам вызначаюцца і арыфметычныя паслядоўнасці вышэйшых парадкаў. А іменна, арыфметычнай паслядоўнасцю Шаблон:Math-га парадку называецца такая паслядоўнасць лікаў, што паслядоўнасць іх рознасцей утварае арыфметычную паслядоўнасць Шаблон:Math-га парадку. У прыватнасці, паслядоўнасць Шаблон:Math-ных ступеняў утварае арыфметычную паслядоўнасць Шаблон:Math-га парадку.

Прыклады

• Натуральны рад $1,2,3,4,5,\dots$ — гэта арыфметычная прагрэсія, у якой першы элемент $a_1=1$, а рознасць $d=1$.
• $1,-1,-3,-5,-7$ — першыя 5 членаў арыфметычнай прагрэсіі, дзе $a_1=1$ і $d=-2$.
• Суму першых $n$ натуральных лікаў можна вылічыць па формуле

$1+2+3+\dots +n=\frac{n(n+1)}{2}.$

Гл. таксама

• Геаметрычная прагрэсія

Спасылкі

• Развязанне задач на арыфметычныя прагрэсіі