Геаметрычная прагрэсія

Кожны наступны фіялетавы квадрат атрыманы змяншэннем у 2 разы старон папярэдняга квадрата (пры гэтым ягоная плошча змяншаецца ў 4 разы). Сума плошчаў усіх фіялетавых квадратаў раўняецца траціне плошчы вялікага квадрата.

Геаметры́чная прагрэ́сія — паслядоўнасць лікаў Шаблон:Math (членаў прагрэсіі), кожны з якіх атрымліваецца з папярэдняга дамнажэннем на пастаянны лік Шаблон:Math (назоШаблон:Націскўнік прагрэсіі).

$b_n=b_{n-1}q,n=2,3,\dots .$

Сума ўсіх членаў геаметрычнай прагрэсіі (су́ма бяско́нцай геаметры́чнай прагрэ́сіі) называецца геаметры́чным ра́дам. Часта геаметрычным радам называюць і канечную суму некалькіх першых членаў геаметрычнай прагрэсіі.

Такім чынам, любая геаметрычная паслядоўнасць выглядае на ўзор

$a,aq,a{q}^2,a{q}^3,a{q}^4,\dots ,$

дзе Шаблон:Math — першы член геаметрычнай прагрэсіі, Шаблон:Math - назоўнік геаметрычнай прагрэсіі.

У такіх абазначэннях геаметрычны рад мае выгляд:

$a+aq+a{q}^2+a{q}^3+a{q}^4+\dots .$

Апісанне

n-ы член геаметрычнай прагрэсіі можна вылічыць па формуле:

$b_n=b_1{q}^{n-1}$

Калі $b_1>0$ і $q>1$, прагрэсія з'яўляецца нарастаючай паслядоўнасцю, калі $0<q<1$, — спадаючай паслядоўнасцю, а пры $q<0$ — знакачаргавальнай.

Сваю назву прагрэсія атрымала дзякуючы сваёй адме́тнай уласці́васці:

$|b_n|=\sqrt{b_{n-1}{b}_{n+1}},$

гэта значыць, кожны член роўны сярэдняму геаметрычнаму сваіх суседзяў.

Уласцівасці

• Лагарыфмы членаў геаметрычнай прагрэсіі (калі яны вызначаны) утвараюць арыфметычную прагрэсію

• Пашыраная адметная ўласцівасць геаметрычнай прагрэсіі:

$b_n^2=b_{n-i}{b}_{n+i},0\le i<n$

• Здабытак першых n элементаў геаметрычнай прагрэсіі можна вылічыць па формуле:

$P_n=(b_1\cdot b_n{)}^{\frac{n}{2}}$

• Здабытак членаў геаметрычнай прагрэсіі з нумарамі ад Шаблон:Math да Шаблон:Math можна вылічыць па формуле:

$P_{k,n}=\frac{P_n}{P_{k-1}}$

• Сума Шаблон:Math першых членаў геаметрычнай прагрэсіі:

$S_n=\sum _{i=1}^n{b}_i=\{\begin{array}{cc}{b}_1\frac{1-q^n}{1-q},& q\ne 1,\\ n{b}_1,& q=1.\end{array}$

Геаметрычны рад

На рысунку паказаны тры геаметрычныя рады ўзору Шаблон:Math (з назоўнікамі 1/2, 1/3 і 1/4) на 6 крокаў углыб. Першая "цагліна" адлюстроўвае адзінку. Штрыхавая лінія паказвае бясконцую суму паслядоўнасці — лік, да якога канечная сума набліжаецца пры павелічэнні колькасці складнікаў, але ніколі не дасягае (у дадзеным выпадку гэты лік роўны 2, 3/2, і 4/3, адпаведна).

Геаметры́чны ра́д — такі бясконцы рад, дзель паслядоўных членаў якога ёсць сталая велічыня. Часам геаметрычны рад яшчэ называюць сумай бясконцай геаметрычнай прагрэсіі. У агульным выпадку, геаметрычны рад можна прадставіць у выглядзе:

$a+aq+a{q}^2+a{q}^3+a{q}^4+\dots$

або

$\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}a{q}^k.$

Геаметрычны рад збягаецца, калі і толькі калі Шаблон:Math. Суму рада азначаюць як граніцу паслядоўнасці яго частковых сум Шаблон:Math:

$\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}a{q}^k=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\sum _{k=0}^{n}a{q}^k=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }a\frac{1-q^n}{1-q}.$

А раз Шаблон:Math, то велічыня Шаблон:Math імкнецца да нуля пры неабмежаваным нарастанні Шаблон:Math. Адсюль атрымліваем, што сума геаметрычнага рада раўняецца:

$a+aq+a{q}^2+a{q}^3+a{q}^4+\dots =\frac{a}{1-q}.$

Калі ж Шаблон:Math, геаметрычны рад разбягаецца.

Рысунак паказвае геаметрычны рад 1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + ..., які збягаецца да значэння 2

Перыядычныя дзесятковыя дробы

Геаметрычныя рады маюць адно цікавае дастасаванне. Так, любы перыядычны дзесятковы дроб, па сутнасці, ёсць запіс пэўнага геаметрычнага рада. Справядліва наступная тэарэма: Шаблон:Тэарэма Такім чынам, узнікае задача пераводу перыядычнага дзесятковага дробу ў звычайны.

Прыклады:

$0,(7)=0,77777\dots =0,7+0,07+0,007+\dots =7\frac{1}{10}+7{\left(\frac{1}{10}\right)}^2+7{\left(\frac{1}{10}\right)}^3+\dots =\frac{\frac{7}{10}}{1-\frac{1}{10}}=\frac{7}{9}$

$0,(9)=0,99999\dots =0,9+0,09+0,009+\dots =9\frac{1}{10}+9{\left(\frac{1}{10}\right)}^2+9{\left(\frac{1}{10}\right)}^3+\dots =\frac{\frac{9}{10}}{1-\frac{1}{10}}=\frac{9}{9}=1$

$0,(143)=0,143143\dots =0,143+0,000143+0,000000143+\dots =143\frac{1}{1000}+143{\left(\frac{1}{1000}\right)}^2+143{\left(\frac{1}{1000}\right)}^3+\dots =\frac{\frac{143}{1000}}{1-\frac{1}{1000}}=\frac{143}{999}$

$0,85(3)=0,85333\dots =0,85+0,003+0,0003+\dots =\frac{85}{100}+\frac{3}{1000}+\frac{3}{1000}\cdot \frac{1}{10}+\frac{3}{1000}{\left(\frac{1}{10}\right)}^2+\dots =\frac{17}{20}+\frac{\frac{3}{1000}}{1-\frac{1}{10}}=\frac{17}{20}+\frac{1}{300}=\frac{64}{75}$

Прыклады геаметрычных прагрэсій

• Паслядоўнасць плошчаў квадратаў, дзе кожны наступны квадрат атрымліваецца злучэннем сярэдзін старон папярэдняга — бясконцая геаметрычная прагрэсія з назоўнікам 1/2. Плошчы трохвугольнікаў, якія атрыліваюцца на кожным кроку, таксама ўтвараюць бясконцую геаметрычную прагрэсію з назоўнікам 1/2, сума якой роўная плошчы пачатковага квадрата.
• 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, 512, 1024, 2048, 4096, 8192 — трынаццаць паслядоўных элементаў геаметрычнай прагрэсіі з назоўнікам 2.
• 50; −25; 12,5; −6,25; 3,125; … — бясконцая спадаючая геаметрычная прагрэсія з назоўнікам -½.
• $\pi ,\pi ,\pi ,\pi$ — геаметрычная прагрэсія з назоўнікам 1.

Гл. таксама

• Арыфметычная прагрэсія
• Паказнікавая функцыя