Мнагачлен

Мнагачле́н, або мнагаскла́д^[1], паліном — алгебраічная сума канечнай колькасці адначленаў^[2], г.зн. складнікаў выгляду

a_{k_{1}, k_{2}, \dots, k_{n}} x_{1}^{k_{1}} x_{2}^{k_{2}} \dots x_{n}^{k_{n}},

дзе $a_{k_{1}, k_{2}, \dots, k_{n}}$ — пэўны лік (каэфіцыент), Шаблон:Math — зменныя, Шаблон:Math — цэлыя неадмоўныя лікі.

Мнагачлен ступені Шаблон:Math ад адной зменнай Шаблон:Math мае выгляд:

f (x) = a_{n} x^{n} + a_{n - 1} x^{n - 1} + \dots + a_{1} x + a_{0},

дзе Шаблон:Math — сталыя (пастаянныя) лікі, якія называюцца каэфіцыентамі мнагачлена.

Інакш кажучы, мнагачлен — гэта матэматычны выраз канечнай даўжыні, збудаваны са зменных і каэфіцыентаў толькі шляхам складання, адымання, множання і ўзвядзення ў неадмоўную цэлую ступень (г.зн. могуць прысутнічаць натуральныя ступені зменных і нулявая ступень). Аднак дзяленне сталых адна на адну можа прысутнічаць, бо па сутнасці дзяленне можна прадставіць праз множанне. Напрыклад, Шаблон:Math − мнагачлен, а Шаблон:Math − не, таму што ягоны другі складнік (Шаблон:Math) утрымлівае дзяленне на зменную Шаблон:Math, і да таго ж, ягоны трэці складнік утрымлівае няцэлую ступень зменнай.

Часцей за ўсё, у выпадках, калі нейкая велічыня можа быць запісана ў выглядзе мнагачлена ад нейкага параметра, у якасці прыметніка ўжываецца слова «полінаміяльны», вытворнае ад запазычанага з лацінскай мовы слова «паліном» (Шаблон:Lang-la); напрыклад, паняцце полінаміяльны час, што ўжываецца ў тэорыі складанасці вылічэнняў.

Слова «паліном» (Шаблон:Lang-la) было ўтворана ад грэчаскага «poly», «многа» і сярэдневяковага лацінскага «binomium», «двухчлен». Само гэта слова ўвёў у латынь Франсуа Віет ^[3].

Мнагачлены сустракаюцца ў шматлікіх галінах матэматыкі і навукі. Напрыклад, яны выкарыстоўваюцца для пабудовы сістэм алгебраічных ураўненняў, якія апісваюць самыя разнастайныя працэсы і з'явы, ад найпрасцейшых да найскладанейшых. Імі карыстаюцца пры вызначэнні полінаміяльных функцый, якія шырока ўжываюцца ў навуцы, пачынаючы з прыродазнаўчых навук аж да эканомікі і сацыяльных навук. Мнагачлены выкарыстоўваюцца ў матэматычным і лікавым аналізе для прыбліжэння іншых функцый. У вышэйшай матэматыцы мнагачлены выкарыстоўваюцца пры пабудове полінаміяльных колцаў, якія з'яўляюцца адным з найважнейшых паняццяў у абстрактнай алгебры і алгебраічнай геаметрыі.

Віды

Мнагачлен (мнагасклад) ад адной зменнай − гэта выраз выгляду

c_{n} x^{n} + \dots + c_{1} x + c_{0},

дзе $c_{i}$ − сталыя каэфіцыенты, а $x$ − зменная.

Прыклад: $x^{10} + 15 x^{7} - 11 x^{5} + 1 .$

Мнагачлен ад Шаблон:Math зменных − канечная сумма, пабудаваная са складнікаў выгляду

c_{i_{1}, i_{2}, \dots, i_{k}} x_{1}^{i_{1}} x_{2}^{i_{2}} \dots x_{k}^{i_{k}},

дзе $c_{i_{1}, i_{2}, \dots, i_{k}}$ − сталыя каэфіцыенты, $x_{1}, x_{2}, \dots x_{k}$ − зменныя, $i_{1}, i_{2}, \dots, i_{k}$ − сталыя неадмоўныя лікі.

Прыклад: $17 + 12 x - y - x^{2} + 16 x y + 5 y^{7}$ − мнагачлен ад двух зменных.

Адначлен − найпрасцейшы мнагачлен, які ўтрымлівае толькі адзін складнік $c_{i_{1}, i_{2}, \dots, i_{k}} x_{1}^{i_{1}} x_{2}^{i_{2}} \dots x_{k}^{i_{k}} .$

Характарыстыкі

Ступенню адначлена $t = c_{i_{1}, i_{2}, \dots, i_{k}} x_{1}^{i_{1}} x_{2}^{i_{2}} \dots x_{k}^{i_{k}}$ , дзе $c_{i_{1}, i_{2}, \dots, i_{k}} \neq 0$ , называецца велічыня $\deg (t) = i_{1} + i_{2} + \dots + i_{k}$ .

У выпадку $c_{i_{1}, i_{2}, \dots, i_{k}} = 0$ (г.зн. Шаблон:Math) зручна лічыць, што ступень роўная адмоўнай бесканечнасці: $\deg (0) = - \infty .$

Прыклад: $\deg (25 x^{3} y^{11} z) = 15 .$

Ступенню мнагачлена называецца найбольшая са ступеней яго складнікаў.

Прыклад: $\deg (x^{10} + 15 x^{7} - 11 x^{5} + 1) = 10 .$

Простыя ўласцівасці

Сума мнагачленаў ёсць мнагачлен.
Здабытак мнагачленаў ёсць мнагачлен.
Вытворная мнагачлена Шаблон:Math роўная мнагачлену Шаблон:Math.

Каб вылічыць значэнне мнагачлена ў пункце, трэба прысвоіць зменным значэнні адпаведных каардынат гэтага пункта і выканаць патрэбныя множанні і складанні. Звычайна, у выпадку мнагачленаў ад адной зменнай вылічэнні выконваюцца па найбольш дзейснай схеме Горнера: